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測度論・実解析の問題

難易度 3大学院入試の専門科目の標準レベル大学院数学測度論・実解析

区間 $(0, \infty)$ 上のルベーグ測度を考える。実数値可測関数 $f : (0, \infty) \to R$ で
$\int_{0}^{\infty} f (x)^{2} d x = 3, \int_{0}^{\infty} f (x)^{4} d x = 12$
を満たすもの全体を $F$ とする。 $f$ が $F$ 全体を動くとき、
$J (f) = \int_{0}^{\infty} ∣ f (x) ∣^{3} d x$
のとりうる値の範囲を求めよ。

この問題で使うもの

ヘルダーの不等式と Lᵖ ノルム（説明と入口の問題）
ルベーグ積分の計算（説明と入口の問題）
関数の連続性と中間値の定理（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（48 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

$∣ f ∣^{3}$ を $∣ f ∣$ と $∣ f ∣^{2}$ の積とみて、与えられた 2 つの積分で上から評価することを考えよう。下限が達成されるかどうかも別に調べる必要がある。

ヒント 2

コーシー・シュワルツの不等式 $\int ∣ f ∣ \cdot ∣ f ∣^{2} \leq ∥ f ∥_{2} ∥ f^{2} ∥_{2}$ の等号条件は「 $∣ f ∣^{2}$ と $∣ f ∣$ が比例する」、つまり $∣ f ∣$ が $0$ とある定数 $λ$ の 2 値しかとらないことである。中間の値については、2 段の階段関数 $h 1_{A} + k 1_{B}$ を考えるとよい。

ヒント 3

上限は $3 \cdot 12$ である。階段関数 $h 1_{A} + k 1_{B}$ （ $∣ A ∣ = a, ∣ B ∣ = b$ ）では、条件から $a, b$ を解くと $J = \frac{12 + 3 hk}{h + k}$ となる。 $hk = 1$ として $h$ を動かしてみよう。

答えと解説

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(0, 6]

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解説を読む

上からの評価. $∣ f ∣^{3} = ∣ f ∣ \cdot ∣ f ∣^{2}$ と分けて、コーシー・シュワルツの不等式（ $p = q = 2$ のヘルダーの不等式）を使うと
$J (f) = \int_{0}^{\infty} ∣ f ∣ \cdot ∣ f ∣^{2} d x \leq (\int_{0}^{\infty} f^{2} d x)^{1/2} (\int_{0}^{\infty} f^{4} d x)^{1/2} = 3 \cdot 12 = 6$
となる。特に $J (f)$ は有限である。等号成立は、ある定数 $λ > 0$ に対して $∣ f ∣^{2} = λ ∣ f ∣$ がほとんどいたるところで成り立つとき、すなわち $∣ f ∣$ がほとんどいたるところで $0$ か $λ$ の値しかとらないときである。

実際、 $f = 2 \cdot 1_{(0, 3/4)}$ とすると
$\int f^{2} = 4 \cdot \frac{3}{4} = 3, \int f^{4} = 16 \cdot \frac{3}{4} = 12, J (f) = 8 \cdot \frac{3}{4} = 6$
なので、最大値 $6$ は達成される。

下からの評価. $J (f) = 0$ なら $f = 0$ a.e. となり $\int f^{2} = 3$ に反する。よって $J (f) > 0$ である。

$(0, 6]$ のすべての値をとること. $h \geq 2$ に対し $k = \frac{1}{h} (< 2)$ とおき、
$f = h 1_{(0, a)} + k 1_{[a, a + b)}$
の形の関数を考える。条件は
$h^{2} a + k^{2} b = 3, h^{4} a + k^{4} b = 12$
である。これを $a, b$ について解くと
$a = \frac{12 - 3 k ^{2}}{h ^{2} ( h ^{2} - k ^{2} )}, b = \frac{3 h ^{2} - 12}{k ^{2} ( h ^{2} - k ^{2} )}$
となる。 $k < 2 \leq h$ より $a > 0, b \geq 0$ なので、この $f$ は $F$ に属する。このとき
$J (f) = h^{3} a + k^{3} b = \frac{h ( 12 - 3 k ^{2} ) + k ( 3 h ^{2} - 12 )}{h ^{2} - k ^{2}} = \frac{( h - k ) ( 12 + 3 hk )}{( h - k ) ( h + k )} = \frac{12 + 3 hk}{h + k}$
である。 $hk = 1$ を代入すると
$J (f) = \frac{15}{h + \frac{1}{h}}$
を得る。 $φ (h) = \frac{15}{h + 1/ h}$ は $h \geq 2$ で連続かつ単調減少である。また $φ (2) = \frac{15}{5/2} = 6$ （このとき $b = 0$ ）であり、 $h \to \infty$ で $φ (h) \to 0$ となる。中間値の定理により、 $φ$ は $(0, 6]$ のすべての値をとる。

以上より、 $J (f)$ のとりうる値の範囲は $(0, 6]$ である。

別解

$g = ∣ f ∣$ とおく。 $\int g^{2} = 3, \int g^{4} = 12$ のもとで $J = \int g^{3}$ の範囲を求める。

【上界】コーシー・シュワルツの不等式より $J = \int g \cdot g^{2} \leq \int g^{2} \int g^{4} = 3 \cdot 12 = 6$ 。等号は $g$ が台の上で定数のときに成り立つ。 $g = c$ を測度 $A$ の集合上でとり、それ以外で $0$ とすると、 $c^{2} A = 3, c^{4} A = 12$ より $c^{2} = 4, A = 3/4$ となる。このとき $J = c^{3} A = 8 \cdot \frac{3}{4} = 6$ 。よって最大値 $6$ は達成される。

【下界】 $g^{2} d x /3$ を確率測度 $μ$ とみなすと、 $E_{μ} [g^{2}] = 4$ 、 $J = 3 E_{μ} [g]$ となる。 $g > 0$ が $μ$ -ほとんど至る所で成り立つので $J > 0$ 。一方、 $J$ はいくらでも $0$ に近づく。実際、 $g = ε$ を測度 $A_{1}$ の集合上、 $g = M$ を測度 $A_{2}$ の集合上でとり、それ以外で $0$ とする。 $(0, \infty)$ の測度は有限でなくてよいので $A_{1}$ は自由に選べる。 $μ$ の質量について $ε^{2} A_{1} = 3 (1 - p)$ 、 $M^{2} A_{2} = 3 p$ 、 $M^{2} p \approx 4$ となるようにとれば、 $J \approx 3 pM \approx 12/ M \to 0$ ( $M \to \infty$ )。

【中間値】2 値関数 $g = a$ (測度 $A$ )、 $g = b$ (測度 $B$ ) の族は、2 つの制約のもとで連続に動かせる。端の値 $6$ と、 $0$ にいくらでも近い値の間のすべての値がとれる。

したがって $J$ のとりうる範囲は $(0, 6]$ 。

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