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ヘルダーの不等式による最大・最小

制約 $\int fgd\mu =1$ や $\int w{f}^{p}d\mu =1$ のもとで、重みを分けたヘルダーの不等式で $\int fd\mu$ の上限や $\Vert f{\Vert }_p$ の下限を評価し、等号成立条件（$|f{|}^p$ が $|g{|}^q$ に比例する）から等号を与える $f$ を作って最大値・最小値を求められる

前提

• ヘルダーの不等式と Lᵖ ノルム （大学院数学 測度論・実解析）

説明

なぜそうしてよいのか

手順

1. 制約と目的の量を見比べ、目的の被積分関数を $F\cdot G$ に分ける。制約が $\int w{f}^{p}d\mu =1$ なら $F=w^{1/p}f$、$G=w^{-1/p}$ のように、$\int |F{|}^{p}d\mu$ が制約の左辺になるようにする。

2. 共役指数 $q=\frac{p}{p-1}$ を求め、$\Vert G{\Vert }_q={\left(\int |G{|}^{q}d\mu \right)}^{1/q}$ を計算する（有限であることを確かめる）。

3. ヘルダーの不等式 $\int |FG|d\mu \le \Vert F{\Vert }_p\Vert G{\Vert }_q$ に制約を代入して、$f$ によらない上界（または下界）を得る。

4. 等号成立条件 $|F{|}^p=c|G{|}^q$ を $f$ について解き、定数を制約から決めて等号を与える $f$ を作る。符号の条件もみたすようにする（$f\ge 0$ の条件や、$\int fg=\int |fg|$ のための $fg\ge 0$。たとえば $f=c\mathrm{sgn}(g)|g{|}^{q-1}$, $c>0$）。

5. 作った $f$ が制約をみたし、目的の量が上界（下界）に一致することを確かめて、最大値（最小値）とする。

例題

よくある誤り

• 重みを分けずに、$\int fdx\le \Vert f{\Vert }_3\Vert 1{\Vert }_{3/2}$ とヘルダーの不等式を使ってしまう誤り。$[0,\infty )$ では $\Vert 1{\Vert }_{3/2}=\infty$ で評価にならず、また $\Vert f{\Vert }_3$ は制約 $\int e^x{f}^{3}dx=1$ からは決まらない。正しくは $f=(e^{x/3}f)\cdot e^{-x/3}$ と分けて、一方の因子の $3$ 乗の積分が制約と一致するようにする。

• 等号成立条件を $F\propto G$（$e^{x/3}f\propto e^{-x/3}$、つまり $f\propto e^{-2x/3}$）としてしまう誤り。これは $p=q=2$ のときだけの条件である。正しくは $|F{|}^p\propto |G{|}^q$、すなわち $e^x{f}^3\propto e^{-x/2}$ から $f\propto e^{-x/2}$。

• $\int fgd\mu =1$ のもとでの下限で、$|f{|}^p\propto |g{|}^q$ だけを見て符号を無視してしまう誤り。たとえば $[-1,1]$ 上で $g(x)=x$、$p=q=2$ のとき、$f=c|x|$ は $|f{|}^2\propto |g{|}^2$ をみたすが、${\int }_{-1}^{1}c|x|\cdot xdx=0$ となり、制約をみたせない。正しくは符号を $g$ に合わせて $f=c\mathrm{sgn}(g)|g{|}^{q-1}=cx$ とし、${\int }_{-1}^{1}c{x}^{2}dx=\frac{2c}{3}=1$ から $c=\frac{3}{2}$ とする。このとき $\Vert f{\Vert }_2=\sqrt{\frac{3}{2}}=\frac{1}{\Vert g{\Vert }_2}$ で下界が達成される。

• 共役指数を取り違えて、$\Vert G{\Vert }_q$ を ${\left(\int G^q\right)}^{1/p}$ や $\int G^q$ のまま使ってしまう誤り。上の例では ${\int }_0^{\infty }{G}^{3/2}dx=2$ に対して $\Vert G{\Vert }_{3/2}=2^{2/3}$ であり、$2$ や $2^{1/3}$ ではない。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

• 難易度 1（大学院の講義の例題レベル）

  自然数全体 $\{1,2,3,\dots \}$ 上の数え上げ測度を考える（すなわち数列空間 ${\ell }^p$ を考える）。実数列 $(a_k{)}_{k\ge 1}$ で
  $$\sum _{k=1}^{\infty }|a_k{|}^3=1$$
  を満たすもの全体を考える。このとき
  $$S=\sum _{k=1}^{\infty }\frac{a_k}{4^k}$$
  の最大値を求めよ。

• 難易度 1（大学院の講義の例題レベル）

  区間 $(0,1)$ 上のルベーグ測度を考える。実数値可測関数 $f:(0,1)\to \mathbb{R}$ で
  $${\int }_0^{1}f(x{)}^{4}dx<\infty ,{\int }_0^{1}xf(x)dx=1$$
  を満たすもの全体を $\mathcal{F}$ とする。
  $$m=\underset{f\in \mathcal{F}}{\min }{\int }_0^{1}f(x{)}^{4}dx$$
  は存在する。$m$ の値を求めよ。

• 難易度 1（大学院の講義の例題レベル）

  正の整数全体の集合 $\mathbb{N}=\{1,2,3,\dots \}$ 上の数え上げ測度を考える（この測度に関する $L^p$ ノルムは $\Vert a{\Vert }_p={\left({\sum }_{n=1}^{\infty }|a_n{|}^p\right)}^{1/p}$ である）。実数列 $a=(a_n{)}_{n\ge 1}$ で
  $$\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n^4=1$$
  を満たすもの全体を考える。このとき級数
  $$S(a)=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{a_n}{8^n}$$
  は絶対収束する。$S(a)$ の最大値を求めよ。

この技能を使う問題

• 難易度 2（大学院の講義の演習問題レベル）

  区間 $(0,1)$ 上のルベーグ測度を考える。可測関数 $f:(0,1)\to [0,\infty )$ で
  $${\int }_0^{1}xf(x{)}^{3}dx=1$$
  を満たすもの全体を $\mathcal{F}$ とする。
  $$M=\underset{f\in \mathcal{F}}{\sup }{\int }_0^{1}f(x)dx$$
  の値を求めよ。

• 難易度 2（大学院の講義の演習問題レベル）

  区間 $(0,\infty )$ 上のルベーグ測度を考える。可測関数 $f:(0,\infty )\to [0,\infty )$ で $${\int }_0^{\infty }f(x{)}^{3}dx=1$$ を満たすもの全体を $\mathcal{F}$ とする。 $$M=\underset{f\in \mathcal{F}}{\sup }{\int }_0^{\infty }f(x)e^{-x}dx$$ の値を求めよ。

• 難易度 3（大学院入試の専門科目の標準レベル）

  区間 $(0,\infty )$ 上のルベーグ測度を考える。実数値可測関数 $f$ で ${\int }_0^{\infty }|f(x){|}^{3}dx<\infty$ かつ $${\int }_0^{\infty }f(x)e^{-x}dx=1$$ を満たすもの全体を $\mathcal{A}$ とする。$$m=\underset{f\in \mathcal{A}}{\inf }{\int }_0^{\infty }|f(x){|}^{3}dx$$ の値を求めよ。

• 難易度 3（大学院入試の専門科目の標準レベル）

  区間 $(0,1)$ 上のルベーグ測度を考える。実数値可測関数 $f:(0,1)\to \mathbb{R}$ で
  $${\int }_0^1|f(x)|dx=1,{\int }_0^{1}f(x{)}^{4}dx=8$$
  を満たすもの全体を $\mathcal{F}$ とする。$f$ が $\mathcal{F}$ 全体を動くとき、
  $$J(f)={\int }_0^{1}f(x{)}^{2}dx$$
  のとりうる値の範囲を求めよ。

• 難易度 4（大学院入試の難問レベル）

  区間 $(0,1)$ 上のルベーグ測度を考える。可測関数 $f:(0,1)\to (0,\infty )$ で $${\int }_0^{1}f(x{)}^{3}dx<\infty ,{\int }_0^1\frac{x}{f(x)}dx<\infty$$ を満たすもの全体を $\mathcal{G}$ とする。$$m=\underset{f\in \mathcal{G}}{\inf }\left({\int }_0^{1}f(x{)}^{3}dx\right){\left({\int }_0^1\frac{x}{f(x)}dx\right)}^3$$ の値を求めよ。