この問題は、利用者からの報告を受けて確認中です。答えや解説に誤りがあるかもしれません。

測度論・実解析の問題

難易度 1大学院の講義の例題レベル大学院数学測度論・実解析

正の整数全体の集合 $N = {1, 2, 3, \dots}$ 上の数え上げ測度を考える（この測度に関する $L^{p}$ ノルムは $∥ a ∥_{p} = (\sum_{n = 1}^{\infty} ∣ a_{n} ∣^{p})^{1/ p}$ である）。実数列 $a = (a_{n})_{n \geq 1}$ で
$n = 1 \sum \infty a_{n}^{4} = 1$
を満たすもの全体を考える。このとき級数
$S (a) = n = 1 \sum \infty \frac{a _{n}}{8 ^{n}}$
は絶対収束する。 $S (a)$ の最大値を求めよ。

この問題で使うもの

ヘルダーの不等式と Lᵖ ノルム（説明と入口の問題）
等差・等比数列の和と Σ（説明と入口の問題）
ヘルダーの不等式による最大・最小（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（48 技能）

算数中学高校大学大学院

読み込み中…

右端（太枠）がこの問題で使う技能です。左へドラッグすると、さらに前の前提をさかのぼれます。技能を押すと、そこまでの道筋が光ります。

一覧で見る（前提が先）

ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

ヘルダーの不等式を数え上げ測度（数列の和）に対して使います。 $a$ の $L^{4}$ ノルムが与えられているので、指数 $p = 4$ とその共役指数 $q$ を使いましょう。

ヒント 2

$\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1$ から $q = \frac{4}{3}$ 。 $∣ \sum a_{n} b_{n} ∣ \leq ∥ a ∥_{4} ∥ b ∥_{4/3}$ （ $b_{n} = 8^{- n}$ ）を使い、 $b_{n}^{4/3} = 1 6^{- n}$ に注意して等比数列の和を計算します。

ヒント 3

$∥ b ∥_{4/3}^{4/3} = \sum 1 6^{- n} = \frac{1}{15}$ です。等号成立条件は $a_{n}$ が $b_{n}^{1/3} = 2^{- n}$ の正の定数倍になることなので、 $a_{n} = λ 2^{- n}$ として $\sum a_{n}^{4} = 1$ から $λ$ を決めてみましょう。

答えと解説

答えを見る

1 5^{- \frac{3}{4}}

結果を記録する（このブラウザにだけ保存されます）:

解説を読む

方針. $b_{n} = 8^{- n}$ とおくと $S (a) = \sum a_{n} b_{n}$ は数え上げ測度に関する積分 $\int ab$ である。 $a$ の $L^{4}$ ノルムが $1$ と与えられているので、 $p = 4$ とその共役指数 $q$ でヘルダーの不等式を使う。

共役指数. $\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1$ より $\frac{1}{q} = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$ 、すなわち $q = \frac{4}{3}$ 。

$b$ の $L^{4/3}$ ノルム. $b_{n}^{4/3} = (8^{- n})^{4/3} = (2^{- 3 n})^{4/3} = 2^{- 4 n} = 1 6^{- n}$ なので、等比数列の和より
$∥ b ∥_{4/3}^{4/3} = n = 1 \sum \infty 1 6^{- n} = \frac{1/16}{1 - 1/16} = \frac{1}{15}, ∥ b ∥_{4/3} = (\frac{1}{15})^{3/4} = 1 5^{- 3/4} .$

ヘルダーの不等式.
$∣ S (a) ∣ \leq n = 1 \sum \infty ∣ a_{n} ∣ b_{n} \leq ∥ a ∥_{4} ∥ b ∥_{4/3} = 1 \cdot 1 5^{- 3/4} .$
特に級数は絶対収束し、 $S (a) \leq 1 5^{- 3/4}$ である。

等号成立. ヘルダーの不等式で等号が成り立つのは、 $∣ a_{n} ∣^{4}$ と $b_{n}^{4/3}$ が比例するとき、つまり $∣ a_{n} ∣ = λ b_{n}^{1/3}$ （ $λ \geq 0$ は定数）のときであり、さらに $\sum a_{n} b_{n} = \sum ∣ a_{n} ∣ b_{n}$ となるには $a_{n} \geq 0$ であればよい。 $b_{n}^{1/3} = 2^{- n}$ なので $a_{n} = λ 2^{- n}$ とおくと、
$n = 1 \sum \infty a_{n}^{4} = λ^{4} n = 1 \sum \infty 1 6^{- n} = \frac{λ ^{4}}{15} = 1 ⟹ λ = 1 5^{1/4} .$
このとき
$S (a) = n = 1 \sum \infty 1 5^{1/4} 2^{- n} 8^{- n} = 1 5^{1/4} n = 1 \sum \infty 1 6^{- n} = \frac{1 5 ^{1/4}}{15} = 1 5^{- 3/4}$
となり、上界が実際に達成される。

よって最大値は $1 5^{- 3/4}$ である。

別解

$b_{n} = 8^{- n}$ とおくと、 $S (a) = \sum a_{n} b_{n}$ であり、条件は $∥ a ∥_{4} = 1$ である。ヘルダーの不等式（指数 $p = 4$ 、共役指数 $q = 4/3$ ）より $S (a) \leq ∥ a ∥_{4} ∥ b ∥_{4/3} = ∥ b ∥_{4/3}$ である。

$∥ b ∥_{4/3}^{4/3} = \sum_{n \geq 1} 8^{- 4 n /3} = \sum_{n \geq 1} 1 6^{- n} = \frac{1/16}{1 - 1/16} = \frac{1}{15}$ なので、 $∥ b ∥_{4/3} = (1/15)^{3/4} = 1 5^{- 3/4}$ となる。

等号は $a_{n} = c b_{n}^{q - 1} = c b_{n}^{1/3} = c 2^{- n}$ （ $c > 0$ ）のとき成立する。 $\sum a_{n}^{4} = c^{4} \sum 1 6^{- n} = c^{4} /15 = 1$ より $c = 1 5^{1/4}$ と取れる。このとき $S (a) = c \sum 2^{- n} 8^{- n} = c \cdot \frac{1/16}{1 - 1/16} = 1 5^{1/4} /15 = 1 5^{- 3/4}$ となり、上界に一致することを確かめた。

よって最大値は $1 5^{- 3/4}$ である。

測度論・実解析の問題

この問題で使うもの

ヒント

答えと解説

次のおすすめ

この問題の確認

間違いを報告する

関連する問題