測度論・実解析の問題

方針 被積分関数を
$$f_n(x)=\frac{nx}{1+nx}x{e}^{-2x}(x>0)$$
とおきます。単調収束定理の仮定（非負・$n$ について単調増加）を確かめ、極限と積分を交換します。

1. 非負性 $x>0$ のとき $\frac{nx}{1+nx}>0$、$x>0$、$e^{-2x}>0$ なので $f_n(x)\ge 0$ です。また $f_n$ は連続なので可測です。

2. 単調性
$$\frac{nx}{1+nx}=1-\frac{1}{1+nx}$$
と変形します。$x>0$ を固定すると、$n$ が大きくなるほど $1+nx$ は大きくなり、$\frac{1}{1+nx}$ は小さくなります。よって $\frac{nx}{1+nx}$ は $n$ について単調増加です。これに $x{e}^{-2x}>0$ を掛けても大小は変わらないので
$$0\le f_1(x)\le f_2(x)\le \cdots$$
が成り立ちます。

3. 各点の極限 $x>0$ を固定すると $\frac{1}{1+nx}\to 0(n\to \infty )$ なので
$$\underset{n\to \infty }{\lim }{f}_n(x)=x{e}^{-2x}.$$

4. 単調収束定理の適用 1〜3 より $f_n$ は非負可測関数の単調増加列で、$x{e}^{-2x}$ に各点収束します。したがって単調収束定理により
$$\underset{n\to \infty }{\lim }{I}_n={\int }_0^{\infty }x{e}^{-2x}dx.$$

5. 極限の積分の計算 部分積分により、$R>0$ に対して
$${\int }_0^{R}x{e}^{-2x}dx={\left[-\frac{x}{2}{e}^{-2x}\right]}_0^R+\frac{1}{2}{\int }_0^R{e}^{-2x}dx=-\frac{R}{2}{e}^{-2R}+\frac{1}{4}\left(1-e^{-2R}\right).$$
$R\to \infty$ で $R{e}^{-2R}\to 0$、$e^{-2R}\to 0$ なので
$${\int }_0^{\infty }x{e}^{-2x}dx=\frac{1}{4}.$$
（非負連続関数なので、ルベーグ積分はこの広義積分の値に一致します。）

答え $\underset{n\to \infty }{\lim }{I}_n=\frac{1}{4}$

（補足：$0\le f_n(x)\le x{e}^{-2x}$ で、右辺は可積分なので、優収束定理を使っても同じ結論が得られます。）

被積分関数は $f_n(x)=\frac{nx}{1+nx}x{e}^{-2x}$ である。$x>0$ のとき $\frac{nx}{1+nx}\to 1$ なので、$f_n(x)\to x{e}^{-2x}$ が各点で成り立つ。また $0\le \frac{nx}{1+nx}\le 1$ より $0\le f_n(x)\le x{e}^{-2x}$ であり、${\int }_0^{\infty }x{e}^{-2x}dx<\infty$ なので $x{e}^{-2x}$ は可積分な優関数になる。よって優収束定理より $\lim I_n={\int }_0^{\infty }x{e}^{-2x}dx$ である。

ガンマ関数を使うと ${\int }_0^{\infty }x{e}^{-2x}dx=\Gamma (2)/2^2=1/4$ となる。

部分積分でも確かめる。${\int }_0^{\infty }x{e}^{-2x}dx=[-\frac{x}{2}{e}^{-2x}{]}_0^{\infty }+\frac{1}{2}{\int }_0^{\infty }{e}^{-2x}dx=0+\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{4}$ であり、一致する。

したがって極限は $1/4$ である。