測度論・実解析の問題

$f_n(x)=x^2{\left(1+\frac{x}{n}\right)}^n$ $(0\le x\le 1)$ とおく。各 $f_n$ は連続なので可測である。

(1) 各点収束の極限を求める。 $x=0$ のときは $f_n(0)=0$ である。$0<x\le 1$ のときは $h=\frac{x}{n}$ とおくと、$n\to \infty$ で $h\to 0$ であり、
$${\left(1+\frac{x}{n}\right)}^n={\left\{(1+h{)}^{1/h}\right\}}^x\to e^x$$
となる。よって、すべての $x\in [0,1]$ について $f_n(x)\to x^2{e}^x$ が成り立つ。

(2) 優関数を見つける。 $g(t)=t-\log (1+t)$ $(t\ge 0)$ とおくと、$g^{\prime }(t)=1-\frac{1}{1+t}=\frac{t}{1+t}\ge 0$ かつ $g(0)=0$ なので、$t\ge 0$ で $\log (1+t)\le t$ が成り立つ。$t=\frac{x}{n}$ とおいて両辺を $n$ 倍すると $n\log \left(1+\frac{x}{n}\right)\le x$ となり、
$$0\le f_n(x)\le x^2{e}^x\le e(0\le x\le 1)$$
が得られる。定数関数 $e$ は $[0,1]$ 上で可積分である（${\int }_0^{1}edx=e<\infty$）。

(3) 優収束定理を使う。 (1) と (2) より優収束定理の仮定がすべて満たされるので、極限と積分を交換できて
$$\underset{n\to \infty }{\lim }{I}_n={\int }_0^1{x}^2{e}^{x}dx$$
となる。

(4) 積分を計算する。 被積分関数は連続なので、ルベーグ積分はリーマン積分と一致する。部分積分を 2 回行うと
$$\int x^2{e}^{x}dx=x^2{e}^x-2\int x{e}^{x}dx=x^2{e}^x-2(x{e}^x-e^x)+C=(x^2-2x+2)e^x+C$$
となる。したがって
$${\int }_0^1{x}^2{e}^{x}dx=(1-2+2)e-2=e-2$$
である。

よって $\underset{n\to \infty }{\lim }{I}_n=e-2$ である。

$x\in [0,1]$ に対し $(1+x/n{)}^n$ は $n$ について単調増加で $e^x$ に収束する。また $(1+x/n{)}^n\le e^x\le e$ なので、被積分関数は $x^{2}e$ で押さえられる。$[0,1]$ 上で $x^{2}e$ は可積分だから、ルベーグの優収束定理により
$$\underset{n\to \infty }{\lim }{I}_n={\int }_0^1{x}^2{e}^{x}dx.$$
部分積分により、$x^2{e}^x$ の原始関数は $(x^2-2x+2)e^x$ である。微分すると $(2x-2)e^x+(x^2-2x+2)e^x=x^2{e}^x$ となり確かめられる。よって
$${\int }_0^1{x}^2{e}^{x}dx=(1-2+2)e-2=e-2.$$
検算として、数値的には $e-2\approx 0.71828$ である。$n=1$ のとき $I_1={\int }_0^1(x^2+x^3)dx=1/3+1/4=0.583$ で、$I_n$ は $n$ とともに増加して $0.718$ に近づくので矛盾しない。