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測度論・実解析の問題

難易度 3大学院入試の専門科目の標準レベル大学院数学測度論・実解析

$2$ 以上の整数 $n$ に対し $A_{n} = \int_{0}^{\infty} \frac{x ^{2}}{( 1 + \frac{x ^{2}}{n} ) ^{n}} d x$ とおく（積分は $(0, \infty)$ 上のルベーグ測度に関するもの）。極限 $n \to \infty lim A_{n}$ の値を求めよ。

この問題で使うもの

ラプラスの方法（ガウス型の極限）（説明と入口の問題）
単調収束定理・優収束定理（説明と入口の問題）
部分積分（説明と入口の問題）
ガウス積分（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（68 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

被積分関数の各点での極限を求め、優収束定理で極限と積分を交換することを考えよう。

ヒント 2

$(1 + \frac{t}{n})^{n}$ は $n$ について単調増加なので、 $n \geq 2$ では分母を $(1 + \frac{x ^{2}}{2})^{2}$ で下から押さえられる。

ヒント 3

優関数 $\frac{4 x ^{2}}{( 2 + x ^{2} ) ^{2}}$ は可積分なので、極限は $\int_{0}^{\infty} x^{2} e^{- x^{2}} d x$ に等しい。あとは部分積分でガウス積分に帰着させる。

答えと解説

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\frac{π}{4}

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解説を読む

$f_{n} (x) = \frac{x ^{2}}{( 1 + x ^{2} / n ) ^{n}}$ （ $x > 0$ , $n \geq 2$ ）とおく。

各点収束. 各 $x > 0$ について $(1 + \frac{x ^{2}}{n})^{n} \to e^{x^{2}}$ （ $n \to \infty$ ）なので
$f_{n} (x) \to x^{2} e^{- x^{2}} .$

優関数. $t \geq 0$ を固定すると、数列 $(1 + \frac{t}{n})^{n}$ は $n$ について単調増加である（相加相乗平均の不等式により、 $1$ と $n$ 個の $1 + \frac{t}{n}$ の相加平均 $1 + \frac{t}{n + 1}$ は相乗平均 $(1 + \frac{t}{n})^{n / (n + 1)}$ 以上）。よって $n \geq 2$ のとき
$(1 + \frac{x ^{2}}{n})^{n} \geq (1 + \frac{x ^{2}}{2})^{2}, 0 \leq f_{n} (x) \leq g (x) := \frac{x ^{2}}{( 1 + \frac{x ^{2}}{2} ) ^{2}} = \frac{4 x ^{2}}{( 2 + x ^{2} ) ^{2}} .$
$g$ は $(0, \infty)$ 上で連続かつ $0 \leq g (x) \leq min (1, \frac{4}{x ^{2}})$ を満たす（ $4 x^{2} \leq (2 + x^{2})^{2}$ および $(2 + x^{2})^{2} \geq x^{4}$ から）ので
$\int_{0}^{\infty} g d x \leq \int_{0}^{1} 1 d x + \int_{1}^{\infty} \frac{4}{x ^{2}} d x = 1 + 4 < \infty.$
したがって $g$ は可積分である。

ルベーグの優収束定理. $f_{n}$ は可測で $∣ f_{n} ∣ \leq g$ , $g \in L^{1} (0, \infty)$ かつ $f_{n} \to x^{2} e^{- x^{2}}$ が各点で成り立つので、優収束定理により
$n \to \infty lim A_{n} = \int_{0}^{\infty} x^{2} e^{- x^{2}} d x .$

積分の計算. 部分積分により
$\int_{0}^{\infty} x^{2} e^{- x^{2}} d x = \int_{0}^{\infty} x \cdot (x e^{- x^{2}}) d x = [- \frac{x}{2} e^{- x^{2}}]_{0}^{\infty} + \frac{1}{2} \int_{0}^{\infty} e^{- x^{2}} d x = \frac{1}{2} \cdot \frac{π}{2} = \frac{π}{4} .$
よって $n \to \infty lim A_{n} = \frac{π}{4} .$
（ $n = 1$ では被積分関数が $x \to \infty$ で $1$ に近づき積分が発散するため、 $n \geq 2$ としている。）

別解

被積分関数 $g_{n} (x) = x^{2} (1 + \frac{x ^{2}}{n})^{- n}$ は各 $x$ で $n \to \infty$ のとき $x^{2} e^{- x^{2}}$ に収束する。
優関数: $t \geq 0$ に対し $(1 + \frac{t}{n})^{n}$ は $n$ について単調増加なので、 $n \geq 2$ では $(1 + \frac{x ^{2}}{n})^{n} \geq (1 + \frac{x ^{2}}{2})^{2}$ 。よって $0 \leq g_{n} (x) \leq \frac{x ^{2}}{( 1 + x ^{2} /2 ) ^{2}}$ 。この右辺は $x \to \infty$ で $O (x^{- 2})$ なので $(0, \infty)$ 上可積分（ $n = 2$ の $A_{2}$ 自体も有限）。
ルベーグの優収束定理より
$n \to \infty lim A_{n} = \int_{0}^{\infty} x^{2} e^{- x^{2}} d x .$
部分積分: $\int_{0}^{\infty} x \cdot x e^{- x^{2}} d x = [- \frac{x}{2} e^{- x^{2}}]_{0}^{\infty} + \frac{1}{2} \int_{0}^{\infty} e^{- x^{2}} d x = \frac{1}{2} \cdot \frac{π}{2} = \frac{π}{4}$ 。
検算: $Γ (3/2) /2 = \frac{π /2}{2} = \frac{π}{4} \approx 0.443$ （ $\int_{0}^{\infty} x^{2} e^{- x^{2}} d x = \frac{1}{2} Γ (3/2)$ ）で一致。

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