置換と優収束定理による積分の極限

積分の重みが端点に集まるとき $x = 1 - \frac{t}{n}$ や $x = \frac{t}{n}$ のように $n$ に応じて変数を置き換え、 $(1 - \frac{t}{n})^{n} 1_{[0, n]} (t) \to e^{- t}$ のような各点極限と、 $(1 - \frac{t}{n})^{n} \leq e^{- t}$ などの $n$ によらない可積分な優関数を見つけて、 $lim_{n \to \infty} n \int_{0}^{1} \frac{x ^{n}}{1 + x ^{2}} d x = \frac{1}{2}$ のような極限を求められる

前提

単調収束定理・優収束定理（大学院数学測度論・実解析）
微分を使った不等式の証明（数学III 微分法）

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算数中学高校大学大学院

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微分を使った不等式の証明（数学III 微分法）

説明

$\int_{0}^{1} x^{n} f (x) d x$ のように、 $n$ が大きくなると被積分関数の重みが端点の近くの幅 $\frac{1}{n}$ 程度の部分に集まってしまう積分について、その極限（あるいは $n$ 倍した量の極限）を求める技能です。 $n$ に応じて $x = 1 - \frac{t}{n}$ や $x = \frac{t}{n}$ と変数を置き換えて「集まっている部分」を引き伸ばし、そのあとで優収束定理を使って極限と積分を交換します。漸近評価や確率論の極限計算でよく現れる型です。

なぜそうしてよいのか

たとえば $x^{n}$ は $0 \leq x < 1$ では $n \to \infty$ で $0$ に近づき、 $x = 1$ の近くのごく狭い範囲でだけ大きな値をとります。実際 $\int_{0}^{1} x^{n} d x = \frac{1}{n + 1}$ なので積分そのものは $0$ に近づき、意味のある情報は「 $n$ 倍した値」に残ります。そこで重みが集まる幅 $\frac{1}{n}$ を単位にとり直して $x = 1 - \frac{t}{n}$ （ $0 \leq t \leq n$ ）とおくと、 $d x = - \frac{d t}{n}$ より $n \int_{0}^{1} x^{n} f (x) d x = \int_{0}^{n} (1 - \frac{t}{n})^{n} f (1 - \frac{t}{n}) d t$ となり、前に付いていた $n$ がちょうど $d x$ の $\frac{1}{n}$ と打ち消し合います。

置き換えた後の被積分関数を $g_{n} (t) = (1 - \frac{t}{n})^{n} f (1 - \frac{t}{n}) 1_{[0, n]} (t)$ として $[0, \infty)$ 上の関数とみると、 $t$ を固定して $n \to \infty$ とすれば $n > t$ となり、 $n lo g (1 - \frac{t}{n}) \to - t$ から $(1 - \frac{t}{n})^{n} \to e^{- t}$ です。 $f$ が $x = 1$ で連続なら $f (1 - \frac{t}{n}) \to f (1)$ なので、 $g_{n} (t) \to f (1) e^{- t}$ という各点極限が得られます。

ただし各点収束だけでは積分の極限と極限の積分が一致するとは限りません。ここで必要なのが $n$ によらない可積分な優関数です。 $e^{x} \geq 1 + x$ に $x = - \frac{t}{n}$ を代入すると、 $0 \leq t \leq n$ で $0 \leq 1 - \frac{t}{n} \leq e^{- t / n}$ 、両辺を $n$ 乗して $0 \leq (1 - \frac{t}{n})^{n} \leq e^{- t}$ が得られます。 $∣ f ∣ \leq M$ ならば $∣ g_{n} (t) ∣ \leq M e^{- t}$ で、 $M e^{- t}$ は $[0, \infty)$ で可積分なので優収束定理が使え、極限は $f (1) \int_{0}^{\infty} e^{- t} d t = f (1)$ となります。

手順

重みが集まる端点と幅を見つける。 $x^{n}$ なら $x = 1$ の近くで幅 $\frac{1}{n}$ 、 $e^{- n x}$ なら $x = 0$ の近くで幅 $\frac{1}{n}$
その幅を単位にして変数を置き換える。端点 $1$ なら $x = 1 - \frac{t}{n}$ 、端点 $0$ なら $x = \frac{t}{n}$ とおき、 $d x$ と積分範囲も書き換える（前の $n$ と $d x = \mp \frac{d t}{n}$ が打ち消し合うか確かめる）
置き換えた後の積分を $\int_{0}^{\infty} g_{n} (t) d t$ （ $g_{n}$ は範囲外で $0$ 、たとえば $1_{[0, n]} (t)$ を掛ける）と書き、 $t$ を固定して各点極限 $g (t) = lim_{n \to \infty} g_{n} (t)$ を求める。例: $(1 - \frac{t}{n})^{n} 1_{[0, n]} (t) \to e^{- t}$
$n$ によらない可積分な優関数 $h$ で $∣ g_{n} (t) ∣ \leq h (t)$ （すべての $n$ と $t \geq 0$ ）となるものを見つける。例: $e^{x} \geq 1 + x$ から $(1 - \frac{t}{n})^{n} \leq e^{- t}$ （ $0 \leq t \leq n$ ）
優収束定理により $lim_{n \to \infty} \int_{0}^{\infty} g_{n} (t) d t = \int_{0}^{\infty} g (t) d t$ として、右辺を計算する

例題

$n \to \infty lim n \int_{0}^{1} x^{n} e^{x} d x$ を求めよ。

例題の解答

手順 1（重みが集まる場所） $x^{n}$ は $0 \leq x < 1$ で $0$ に近づくので、重みは $x = 1$ の近くの幅 $\frac{1}{n}$ 程度の部分に集まる。

手順 2（置換） $x = 1 - \frac{t}{n}$ とおくと $d x = - \frac{d t}{n}$ 、 $x : 0 \to 1$ に $t : n \to 0$ が対応するから
$n \int_{0}^{1} x^{n} e^{x} d x = \int_{0}^{n} (1 - \frac{t}{n})^{n} e^{1 - \frac{t}{n}} d t = \int_{0}^{\infty} g_{n} (t) d t,$
ただし $g_{n} (t) = (1 - \frac{t}{n})^{n} e^{1 - \frac{t}{n}} 1_{[0, n]} (t)$ 。

手順 3（各点極限） $t \geq 0$ を固定する。 $n > t$ のとき $n lo g (1 - \frac{t}{n}) = - t \cdot \frac{l o g ( 1 - t / n )}{- t / n} \to - t$ （ $t > 0$ のとき。 $t = 0$ なら値はつねに $0$ ）なので $(1 - \frac{t}{n})^{n} \to e^{- t}$ 。また $e^{1 - \frac{t}{n}} \to e$ 。よって $g_{n} (t) \to e \cdot e^{- t}$ 。

手順 4（優関数） $e^{y} \geq 1 + y$ に $y = - \frac{t}{n}$ を代入すると、 $0 \leq t \leq n$ で $0 \leq 1 - \frac{t}{n} \leq e^{- t / n}$ 。両辺は $0$ 以上なので $n$ 乗して $(1 - \frac{t}{n})^{n} \leq e^{- t}$ 。さらに $e^{1 - \frac{t}{n}} \leq e$ だから、すべての $n$ と $t \geq 0$ で $0 \leq g_{n} (t) \leq e \cdot e^{- t}$ 。右辺は $\int_{0}^{\infty} e \cdot e^{- t} d t = e < \infty$ で可積分。

手順 5（優収束定理） 優収束定理より
$n \to \infty lim n \int_{0}^{1} x^{n} e^{x} d x = \int_{0}^{\infty} e \cdot e^{- t} d t = e .$

答え: $e$

よくある誤り

置換せずに $x^{n} e^{x} \to 0$ （ $0 \leq x < 1$ ）から $lim n \int_{0}^{1} x^{n} e^{x} d x = 0$ や「 $n \cdot 0$ の形だから求まらない」としてしまう誤り。正しくは、 $n$ がかかったままでは優収束定理は使えないので、 $x = 1 - \frac{t}{n}$ と置換して $n$ を $d x = - \frac{d t}{n}$ で吸収させてから極限をとる
置換後の積分範囲 $[0, n]$ を忘れて、 $\int_{0}^{\infty} (1 - \frac{t}{n})^{n} \dots d t$ と書いてしまう誤り。 $t > n$ では $1 - \frac{t}{n} < 0$ となり $(1 - \frac{t}{n})^{n}$ は小さくならない（ $n$ が偶数なら大きくなる）。正しくは $1_{[0, n]} (t)$ を掛けて $t > n$ では $0$ とし、不等式 $(1 - \frac{t}{n})^{n} \leq e^{- t}$ も $0 \leq t \leq n$ でだけ使う
優関数が $n$ によってしまう誤り。たとえば $(1 - \frac{t}{n})^{n} \leq 1$ から $∣ g_{n} ∣ \leq e 1_{[0, n]} (t)$ としても、これは $n$ に依存し、 $n$ によらない上界 $e$ は $[0, \infty)$ で可積分でない。正しくは $e^{y} \geq 1 + y$ から得られる $n$ によらない $e \cdot e^{- t}$ のような可積分な優関数を使う
各点極限だけで積分の極限を決めてしまう誤り。たとえば $g_{n} (t) = \frac{1}{n} 1_{[0, n]} (t)$ は各点で $0$ に収束するが $\int_{0}^{\infty} g_{n} d t = 1$ である。正しくは優関数の存在（または単調性）を確かめてから極限と積分を交換する

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（大学院の講義の例題レベル）
正の整数 $n$ に対し
$a_{n} = n^{3} \int_{0}^{1} \frac{x ^{2} ( 1 - x ) ^{n}}{1 + x} d x$
とおく（積分は区間 $[0, 1]$ 上のルベーグ測度に関するもの）。極限 $n \to \infty lim a_{n}$ を求めよ。

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

ラプラスの方法（ガウス型の極限）（大学院数学測度論・実解析）
積分の極限の次の項（大学院数学測度論・実解析）