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測度論・実解析の問題

難易度 3大学院入試の専門科目の標準レベル大学院数学測度論・実解析

$n$ を正の整数とし、
$I_{n} = \int_{0}^{n} (1 - \frac{x}{n})^{n} x^{2} e^{x /3} d x$
とおく（積分はルベーグ測度に関するもの）。極限 $n \to \infty lim I_{n}$ を求めよ。

この問題で使うもの

置換と優収束定理による積分の極限（説明と入口の問題）
単調収束定理・優収束定理（説明と入口の問題）
部分積分（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（59 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

積分区間を $[0, \infty)$ に広げ、被積分関数に $χ_{[0, n]}$ を掛けた関数列として扱い、収束定理を使いましょう。

ヒント 2

$lo g (1 - t) \leq - t$ から $0 \leq (1 - x / n)^{n} \leq e^{- x}$ （ $0 \leq x \leq n$ ）が成り立ちます。これで $n$ によらない可積分な優関数が作れます。

ヒント 3

優収束定理により極限は $\int_{0}^{\infty} x^{2} e^{- 2 x /3} d x$ に等しくなります。あとはこの積分を計算しましょう。

答えと解説

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\frac{27}{4}

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解説を読む

$[0, \infty)$ 上の関数
$f_{n} (x) = χ_{[0, n]} (x) (1 - \frac{x}{n})^{n} x^{2} e^{x /3}$
を考えると $I_{n} = \int_{[0, \infty)} f_{n} d x$ である。

各点収束. $x \geq 0$ を固定すると、 $n > x$ となる $n$ については $χ_{[0, n]} (x) = 1$ で
$(1 - \frac{x}{n})^{n} = exp (n lo g (1 - \frac{x}{n})) \to e^{- x} (n \to \infty)$
（ $lo g (1 - t) = - t + o (t)$ による）。よって $f_{n} (x) \to x^{2} e^{- x} e^{x /3} = x^{2} e^{- 2 x /3}$ 。

優関数. $0 \leq t < 1$ で $lo g (1 - t) \leq - t$ だから、 $0 \leq x < n$ で
$0 \leq (1 - \frac{x}{n})^{n} \leq e^{- x}$
が成り立ち、 $x = n$ では左辺は $0$ 。したがってすべての $n$ と $x \geq 0$ で
$0 \leq f_{n} (x) \leq g (x) := x^{2} e^{- 2 x /3} .$
$g$ は $[0, \infty)$ で可積分である（下で値を計算する）。

ルベーグの優収束定理 より
$n \to \infty lim I_{n} = \int_{0}^{\infty} x^{2} e^{- 2 x /3} d x .$
$u = \frac{2 x}{3}$ と置換すると $x = \frac{3 u}{2}, d x = \frac{3}{2} d u$ で
$\int_{0}^{\infty} x^{2} e^{- 2 x /3} d x = \int_{0}^{\infty} \frac{9 u ^{2}}{4} e^{- u} \cdot \frac{3}{2} d u = \frac{27}{8} \int_{0}^{\infty} u^{2} e^{- u} d u = \frac{27}{8} \cdot Γ (3) = \frac{27}{8} \cdot 2 = \frac{27}{4} .$
（ $\int_{0}^{\infty} u^{2} e^{- u} d u = 2$ は部分積分を 2 回行っても得られる。）

よって $n \to \infty lim I_{n} = \frac{27}{4}$ 。

別解

$x \in [0, n]$ で $0 \leq 1 - x / n \leq e^{- x / n}$ なので $(1 - x / n)^{n} \leq e^{- x}$ 。被積分関数を $f_{n} (x) = 1_{[0, n]} (x) (1 - x / n)^{n} x^{2} e^{x /3}$ とおくと、 $0 \leq f_{n} (x) \leq x^{2} e^{- x} e^{x /3} = x^{2} e^{- 2 x /3}$ 。右辺は $[0, \infty)$ で可積分。また各 $x$ について $f_{n} (x) \to e^{- x} x^{2} e^{x /3} = x^{2} e^{- 2 x /3}$ 。優収束定理より
$n \to \infty lim I_{n} = \int_{0}^{\infty} x^{2} e^{- 2 x /3} d x = \frac{Γ ( 3 )}{( 2/3 ) ^{3}} = \frac{2 \cdot 27}{8} = \frac{27}{4} .$

検算: $\int_{0}^{\infty} x^{2} e^{- a x} d x = 2/ a^{3}$ に $a = 2/3$ を代入すると $2 \cdot 27/8 = 27/4$ 。

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