特殊関数・漸近解析の問題

1. 変数変換. $x^n{e}^{-x}$ は $x=n$ で最大となり、その幅は $\sqrt{n}$ 程度である。そこで $x=n+\sqrt{n}s$（$s\ge -\sqrt{n}$）とおくと $dx=\sqrt{n}ds$ であり、
$$I_n=n^n{e}^{-n}\sqrt{n}{\int }_{-\sqrt{n}}^{\infty }\exp (-{\phi }_n(s)-2\sqrt{x})ds,{\phi }_n(s)=\sqrt{n}s-n\log (1+\frac{s}{\sqrt{n}})$$
となる。ここで $x^n{e}^{-x}=n^n{e}^{-n}\exp (n\log (1+s/\sqrt{n})-\sqrt{n}s)$ を使った。したがって
$$\frac{e^{2\sqrt{n}}{I}_n}{n^n{e}^{-n}\sqrt{n}}={\int }_{-\sqrt{n}}^{\infty }{F}_n(s)ds,F_n(s)=\exp (-{\phi }_n(s)-2(\sqrt{x}-\sqrt{n}\left)\right).$$

2. 各点での極限. $s$ を固定して $n\to \infty$ とすると、$\log (1+u)=u-\frac{u^2}{2}+O(u^3)$ より
$${\phi }_n(s)=\frac{s^2}{2}+O\left(\frac{s^3}{\sqrt{n}}\right)\to \frac{s^2}{2}.$$
また
$$\sqrt{x}-\sqrt{n}=\frac{x-n}{\sqrt{x}+\sqrt{n}}=\frac{\sqrt{n}s}{\sqrt{n+\sqrt{n}s}+\sqrt{n}}\to \frac{s}{2}.$$
よって $F_n(s)\to \exp (-\frac{s^2}{2}-s)$ である。

3. 優関数（優収束定理を使うため）. $u=s/\sqrt{n}$ とおく。
- $s\le 0$（$-1<u\le 0$）のとき：$u-\log (1+u)\ge \frac{u^2}{2}$ より ${\phi }_n(s)\ge \frac{s^2}{2}$。また $x\le n$ なので $\sqrt{n}-\sqrt{x}=\frac{n-x}{\sqrt{n}+\sqrt{x}}\le \frac{\sqrt{n}|s|}{\sqrt{n}}=|s|$。よって $F_n(s)\le e^{-s^2/2+2|s|}$。
- $s\ge 0$ のとき：$u-\log (1+u)\ge \frac{u^2}{2(1+u)}$ より ${\phi }_n(s)\ge \frac{s^2}{2(1+s/\sqrt{n})}\ge \frac{s^2}{2(1+s)}$（$n\ge 1$）。また $\sqrt{x}\ge \sqrt{n}$。よって $F_n(s)\le e^{-s^2/(2(1+s))}$。

関数 $G(s)=e^{-s^2/2+2|s|}$（$s\le 0$）、$G(s)=e^{-s^2/(2(1+s))}$（$s\ge 0$）は $\mathbb{R}$ 上で可積分である（$s\to +\infty$ で $e^{-s/2}$ 程度に減衰する）。$F_n$ を $s<-\sqrt{n}$ で $0$ と定めれば $0\le F_n\le G$ なので、優収束定理より
$${\int }_{-\sqrt{n}}^{\infty }{F}_n(s)ds\to {\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-s^2/2-s}ds=e^{1/2}{\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-(s+1{)}^2/2}ds=\sqrt{2\pi }{e}^{1/2}.$$

4. スターリングの公式. 以上より
$$e^{2\sqrt{n}}{I}_n\sim \sqrt{2\pi }{e}^{1/2}\sqrt{n}{n}^n{e}^{-n}.$$
$n!\sim \sqrt{2\pi n}{n}^n{e}^{-n}$ で割ると
$$\frac{e^{2\sqrt{n}}{I}_n}{n!}\to e^{1/2}.$$
ゆえに $L=\sqrt{e}$ である。

（補足：$x=t^2$ と置換すると $I_n=2{\int }_0^{\infty }{t}^{2n+1}{e}^{-t^2-2t}dt$ となり、$I_n$ は放物柱関数 $D_{-(2n+2)}$ を用いて表せる。上の結果は、その次数が大きいときの漸近挙動を与えている。）

$X\sim \mathrm{Gamma}(n+1,1)$ とすると、$I_n=n!E[e^{-2\sqrt{X}}]$ と書ける。したがって $\frac{e^{2\sqrt{n}}{I}_n}{n!}=E[e^{-2(\sqrt{X}-\sqrt{n})}]$ である。

$X=n+\sqrt{n}{Z}_n$ とおくと、$Z_n$ は $n\to \infty$ で標準正規分布に分布収束する。このとき
$$\sqrt{X}=\sqrt{n}\sqrt{1+Z_n/\sqrt{n}}=\sqrt{n}+\frac{Z_n}{2}+O(1/\sqrt{n})$$
なので、$2(\sqrt{X}-\sqrt{n})\to Z$（$Z\sim N(0,1)$）となる。よって極限は $E[e^{-Z}]=e^{1/2}$ になると期待される。

期待値と極限の交換については、$X$ が小さい領域の寄与が指数的に小さいことと、$e^{-Z}$ の一様可積分性から正当化できる（ここでは詳細な証明は省略した）。

ラプラス法による検算：$f(x)=n\log x-x-2\sqrt{x}$ に対し $x=n+t$ とおくと $f\approx n\log n-n-2\sqrt{n}-\frac{t^2}{2n}-\frac{t}{\sqrt{n}}$ となる。これは $t=-\sqrt{n}$ で極大をとり、$\frac{1}{2}$ の寄与を与える。ガウス積分の部分は $n!$ のスターリング近似と一致するので、$L=e^{1/2}$ となり、上の結果と合う。