スターリングの公式

$Γ (n + 1) = \int_{0}^{\infty} e^{n l o g x - x} d x$ にラプラスの方法を使って $n! \sim 2 π n (\frac{n}{e})^{n}$ を導き、 $(n 2 n) \sim \frac{4 ^{n}}{π n}$ や $\frac{Γ ( n + a )}{Γ ( n )} \sim n^{a}$ のような階乗・二項係数の漸近形の主要項を求められる

前提

ラプラスの方法（ガウス型の極限）（大学院数学測度論・実解析）
ガンマ関数・ベータ関数とガンマ分布（大学数学確率・統計）

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算数中学高校大学大学院

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ラプラスの方法（ガウス型の極限）（大学院数学測度論・実解析）
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確率変数の期待値・分散と $a X + b$ （数学B 統計的な推測）
連続型確率変数と確率密度関数（数学B 統計的な推測）
一様分布・指数分布（大学数学確率・統計）
ガンマ関数・ベータ関数とガンマ分布（大学数学確率・統計）

説明

スターリングの公式 $n! \sim 2 π n (\frac{n}{e})^{n}$ （ $\sim$ は「比が $1$ に収束する」の意味）は、大きな $n$ に対する階乗の大きさを、べきと指数だけの式で正確に捉える公式です。ガンマ関数の積分表示にラプラスの方法を使うと導け、実数 $x \to \infty$ でも $Γ (x + 1) \sim 2 π x (\frac{x}{e})^{x}$ が成り立ちます。これを使うと、 $(n 2 n) \sim \frac{4 ^{n}}{π n}$ のような二項係数の漸近形や、 $\frac{Γ ( n + a )}{Γ ( n )} \sim n^{a}$ のような階乗・ガンマ関数の比を含む極限の値を求められます。確率（ランダムウォークの戻る確率）、組合せ論、級数の収束判定などで頻繁に使います。

なぜそうしてよいのか

$Γ (n + 1) = n! = \int_{0}^{\infty} x^{n} e^{- x} d x = \int_{0}^{\infty} e^{n l o g x - x} d x$ の被積分関数は $x = n$ で最大になり、そこから離れると急速に小さくなります。山の位置を固定するため $x = n s$ と置換すると
$n! = n^{n + 1} \int_{0}^{\infty} e^{- n (s - l o g s)} d s$
となります。 $ϕ (s) = s - lo g s$ $(s > 0)$ は $ϕ^{'} (s) = 1 - \frac{1}{s}$ より $s = 1$ で唯一の最小値 $ϕ (1) = 1$ をとり、 $ϕ^{''} (1) = \frac{1}{1 ^{2}} = 1 > 0$ 、また $s \to 0^{+}$ でも $s \to \infty$ でも $ϕ \to \infty$ です。したがってラプラスの方法（ $g \equiv 1$ ）がそのまま使えて
$\int_{0}^{\infty} e^{- n ϕ (s)} d s \sim e^{- n} \frac{2 π}{n}$
です。これを掛け戻すと $n! \sim n^{n + 1} e^{- n} \frac{2 π}{n} = 2 π n (\frac{n}{e})^{n}$ が得られます。同じ計算は $n$ を実数 $x$ に置き換えても成り立つので、 $Γ (x + 1) \sim 2 π x (\frac{x}{e})^{x}$ $(x \to \infty)$ です。

漸近形を使うときは、「比が $1$ に近づく」ことを利用します。 $a_{n} \sim b_{n}$ , $c_{n} \sim d_{n}$ なら $\frac{a _{n}}{c _{n}} \sim \frac{b _{n}}{d _{n}}$ , $a_{n} c_{n} \sim b_{n} d_{n}$ なので、階乗の積や商は、各階乗をスターリングの式に置き換えてから整理してよいのです。たとえば
$(n 2 n) = \frac{( 2 n )!}{( n ! ) ^{2}} \sim \frac{4 π n ( 2 n / e ) ^{2 n}}{2 π n ( n / e ) ^{2 n}} = \frac{4 ^{n}}{π n}$
です。ここでは分子と分母の引数の和（ $2 n$ と $n + n$ ）が等しいので $e^{- 2 n}$ がそのまま打ち消し合いました。

引数の和がずれる例がガンマ関数の比 $\frac{Γ ( n + a )}{Γ ( n )}$ （ $a$ は定数、 $n + a - 1 > 0$ , $n > 1$ ）です。 $Γ (n + a) = Γ ((n + a - 1) + 1)$ , $Γ (n) = Γ ((n - 1) + 1)$ にそれぞれ公式を当てると
$\frac{Γ ( n + a )}{Γ ( n )} \sim \frac{n + a - 1}{n - 1} \cdot \frac{e ^{- (n + a - 1)}}{e ^{- (n - 1)}} \cdot \frac{( n + a - 1 ) ^{n + a - 1}}{( n - 1 ) ^{n - 1}} .$
根号の部分は $1$ に収束し、 $e$ の部分は $e^{- a}$ が残ります。最後の部分は
$\frac{( n + a - 1 ) ^{n + a - 1}}{( n - 1 ) ^{n - 1}} = (n + a - 1)^{a} (1 + \frac{a}{n - 1})^{n - 1}$
と分けられ、 $(n + a - 1)^{a} \sim n^{a}$ 、 $(1 + \frac{a}{n - 1})^{n - 1} \to e^{a}$ です。よって全体は $e^{- a} \cdot n^{a} \cdot e^{a} = n^{a}$ 、すなわち $\frac{Γ ( n + a )}{Γ ( n )} \sim n^{a}$ です。残った $e^{- a}$ を、 $n$ 乗の中のずれから出る $e^{a}$ が打ち消すところが要点です。

手順

求める量を階乗（またはガンマ関数）の積・商で書く。例えば $(n 3 n) = \frac{( 3 n )!}{n ! ( 2 n )!}$ 、 $Γ (n + a) = Γ ((n + a - 1) + 1)$
各階乗に $m! \sim 2 π m (\frac{m}{e})^{m}$ （ガンマ関数なら $Γ (m + 1) \sim 2 π m (\frac{m}{e})^{m}$ ）を、 $m$ に実際の引数（ $3 n$ , $2 n$ , $n + a - 1$ など）を入れて適用する
の部分（多項式的な因子）、 $e^{- m}$ の部分、 $m^{m}$ の部分を分けて整理する。 $e^{- m}$ の部分は、引数の和が分子と分母で等しければ打ち消し合う。等しくなければ $e^{- a}$ のような定数が残るので、 $m^{m}$ の部分を $(1 + \frac{a}{n})^{n} \to e^{a}$ の形に変形して出てくる定数と合わせる
指数的な因子を $C^{n}$ の形にまとめ、の部分や残った定数と合わせて主要項 $K n^{α} C^{n}$ を得る
極限を問われていれば、主要項を代入して比の極限を計算する（ $\sim$ は比が $1$ に収束することなので、置き換えた結果の極限が答えになる）

例題

極限 $n \to \infty lim n (n 3 n) (\frac{4}{27})^{n}$ の値を求めよ。

例題の解答

【手順 1】 $(n 3 n) = \frac{( 3 n )!}{n ! ( 2 n )!}$ 。

【手順 2】スターリングの公式を各階乗に適用すると
$(3 n)! \sim 6 π n (\frac{3 n}{e})^{3 n}, n! \sim 2 π n (\frac{n}{e})^{n}, (2 n)! \sim 4 π n (\frac{2 n}{e})^{2 n} .$

【手順 3】の部分は $\frac{6 π n}{2 π n 4 π n} = \frac{6}{8 π n} = \frac{3}{2 π n}$ 。 $e$ の部分は、引数の和が $3 n = n + 2 n$ で等しいので、 $e^{- 3 n}$ が分母の $e^{- n} e^{- 2 n}$ と打ち消し合う。 $m^{m}$ の部分は $\frac{( 3 n ) ^{3 n}}{n ^{n} \cdot ( 2 n ) ^{2 n}} = \frac{3 ^{3 n} n ^{3 n}}{n ^{n} \cdot 2 ^{2 n} n ^{2 n}} = (\frac{27}{4})^{n}$ 。

【手順 4】よって $(n 3 n) \sim \frac{3}{2 π n} (\frac{27}{4})^{n}$ 。

【手順 5】 $n (n 3 n) (\frac{4}{27})^{n}$ と主要項 $n \cdot \frac{3}{2 π n} (\frac{27}{4})^{n} (\frac{4}{27})^{n} = \frac{3}{2 π}$ の比は $1$ に収束するので、求める極限は $\frac{3}{2 π}$ 。

答え: $\frac{3}{2 π}$

よくある誤り

$\sim$ を「差が $0$ に近づく」と読んでしまう誤り。スターリングの公式は比についての主張で、正しくは $\frac{n !}{2 π n ( n / e ) ^{n}} \to 1$ 。差 $n! - 2 π n (n / e)^{n}$ はむしろ $\infty$ に発散する（比は $1 + \frac{1}{12 n} + \dots$ 程度）
$2 π m$ の因子を落として $m! \approx (\frac{m}{e})^{m}$ だけで計算してしまう誤り。指数的な部分は合っても定数とべきがずれ、例えば $(n 2 n) \sim 4^{n}$ としてしまう。正しくは $(n 2 n) \sim \frac{4 ^{n}}{π n}$
$(2 n)!$ に $2 π n (\frac{2 n}{e})^{2 n}$ を使ってしまうなど、根号の中の引数を置き換え忘れる誤り。正しくは $(2 n)! \sim 2 π \cdot 2 n (\frac{2 n}{e})^{2 n} = 4 π n (\frac{2 n}{e})^{2 n}$
$\frac{Γ ( n + a )}{Γ ( n )}$ で、 $m^{m}$ の部分の底を $n$ に粗く置き換えてしまう誤り。分子の $(n + a - 1)^{n + a - 1}$ を $n^{n + a - 1}$ に置き換えると、 $\frac{( n + a - 1 ) ^{n + a - 1}}{n ^{n + a - 1}} = (1 + \frac{a - 1}{n})^{n + a - 1} \to e^{a - 1}$ なので分子は $e^{a - 1}$ 分の $1$ に小さく見積もられる。さらに分母の $(n - 1)^{n - 1}$ も $n^{n - 1}$ に置き換えると、 $\frac{( n - 1 ) ^{n - 1}}{n ^{n - 1}} = (1 - \frac{1}{n})^{n - 1} \to e^{- 1}$ なので分母は $e$ 倍に大きく見積もられ、全体では $e^{- (a - 1)} \cdot e^{- 1} = e^{- a}$ 倍、つまり誤った結果 $\frac{Γ ( n + a )}{Γ ( n )} \sim e^{- a} n^{a}$ が出る。例えば $a = 2$ では $\frac{Γ ( n + 2 )}{Γ ( n )} = n (n + 1) \sim n^{2}$ なのに、粗い置き換えでは $\frac{n ^{2}}{e ^{2}}$ になってしまう。正しくは底をそのまま残し、 $(1 + \frac{a}{n - 1})^{n - 1} \to e^{a}$ が $e$ の部分の $e^{- a}$ と打ち消し合うことを使う

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（大学院の講義の例題レベル）
正の整数 $n$ に対し
$b_{n} = \frac{e ^{n} ( 2 n )!}{4 ^{n} n ^{n} n !}$
とおく（たとえば $b_{1} = \frac{e}{2}$ ）。極限 $L = n \to \infty lim b_{n}$ は存在して正の実数になる。 $L$ の値を求めよ。

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

和のガウス近似による漸近形（大学院数学特殊関数・漸近解析）