特殊関数・漸近解析の問題

スターリングの公式
$$m!\sim \sqrt{2\pi m}{\left(\frac{m}{e}\right)}^m(m\to \infty )$$
（$\sim$ は比が $1$ に収束することを表す）を、$m=2n$ と $m=n$ に使う。

手順 1: $(2n)!$ の漸近形.
$$(2n)!\sim \sqrt{4\pi n}{\left(\frac{2n}{e}\right)}^{2n}=2\sqrt{\pi n}\cdot 4^n{n}^{2n}{e}^{-2n}.$$

手順 2: $n!$ の漸近形.
$$n!\sim \sqrt{2\pi n}{n}^n{e}^{-n}.$$

手順 3: 比をとる. 比が $1$ に収束するもの同士の積・商もまた比が $1$ に収束するので
$$\frac{(2n)!}{n!}\sim \frac{2\sqrt{\pi n}\cdot 4^n{n}^{2n}{e}^{-2n}}{\sqrt{2\pi n}{n}^n{e}^{-n}}=\sqrt{2}\cdot 4^n{n}^n{e}^{-n}.$$
よって
$$b_n=\frac{e^n}{4^n{n}^n}\cdot \frac{(2n)!}{n!}\sim \frac{e^n}{4^n{n}^n}\cdot \sqrt{2}\cdot 4^n{n}^n{e}^{-n}=\sqrt{2}$$
となり、$L=\sqrt{2}$。

数値での確認. $b_1=\frac{e}{2}\approx 1.359$, $b_2=\frac{24e^2}{128}\approx 1.385$ で、$\sqrt{2}\approx 1.414$ に近づいていく。

スターリングの公式 $m!\sim \sqrt{2\pi m}(m/e{)}^m$ を用いる。

$(2n)!\sim \sqrt{4\pi n}(2n/e{)}^{2n}=2\sqrt{\pi n}\frac{4^n{n}^{2n}}{e^{2n}}$, $n!\sim \sqrt{2\pi n}\frac{n^n}{e^n}$。

よって $\frac{(2n)!}{n!}\sim \frac{2\sqrt{\pi n}}{\sqrt{2\pi n}}\cdot \frac{4^n{n}^n}{e^n}=\sqrt{2}\frac{4^n{n}^n}{e^n}$。

$$b_n=\frac{e^n}{4^n{n}^n}\cdot \frac{(2n)!}{n!}\to \sqrt{2}.$$

検算: $b_1=e/2\approx 1.359$, $b_2=\frac{e^2\cdot 24}{16\cdot 4\cdot 2}=\frac{24e^2}{128}\approx 1.385$, $\sqrt{2}\approx 1.414$ に近づいている。