特殊関数・漸近解析の問題

和のガウス近似を使う。

手順 1: 最大の項とその付近の近似

${\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)}^4$ は $k=\frac{n}{2}$ の付近で最大になる。$k=\frac{n}{2}+j$（$j$ は $\sqrt{n}$ 程度の大きさ）とおき、スターリングの公式 $m!\sim \sqrt{2\pi m}{\left(\frac{m}{e}\right)}^m$ を $n!,k!,(n-k)!$ に使う。$p=\frac{k}{n}=\frac{1}{2}+\frac{j}{n}$ とすると
$$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)\approx \frac{1}{\sqrt{2\pi np(1-p)}}{e}^{-n\{p\log p+(1-p)\log (1-p)\}}.$$
$f(p)=p\log p+(1-p)\log (1-p)$ は $f\left(\frac{1}{2}\right)=-\log 2$, $f^{\prime }\left(\frac{1}{2}\right)=0$, $f^{\prime \prime }(p)=\frac{1}{p}+\frac{1}{1-p}$ より $f^{\prime \prime }\left(\frac{1}{2}\right)=4$ だから、テイラー展開して
$$-nf(p)\approx n\log 2-\frac{n}{2}\cdot 4{\left(\frac{j}{n}\right)}^2=n\log 2-\frac{2j^2}{n}.$$
また前の係数は $p(1-p)\approx \frac{1}{4}$ として $\frac{1}{\sqrt{2\pi n/4}}=\sqrt{\frac{2}{\pi n}}$。よって
$$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{\frac{n}{2}+j}\right)\approx 2^n\sqrt{\frac{2}{\pi n}}{e}^{-2j^2/n}.$$
4 乗すると
$${\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{\frac{n}{2}+j}\right)}^4\approx 16^n\cdot \frac{4}{{\pi }^2{n}^2}{e}^{-8j^2/n}.$$

手順 2: 和をガウス積分に置き換える

$|j|$ が $\sqrt{n}$ よりずっと大きい項は指数的に小さく、和にほとんど寄与しない。$j$ について和をとるかわりに積分すると
$$\sum _j{e}^{-8j^2/n}\approx {\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-8x^2/n}dx=\sqrt{\frac{\pi n}{8}}$$
（${\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-c{x}^2}dx=\sqrt{\pi /c}$ で $c=\frac{8}{n}$）。

手順 3: まとめる
$$A_n\sim 16^n\cdot \frac{4}{{\pi }^2{n}^2}\cdot \sqrt{\frac{\pi n}{8}}=16^n\cdot \frac{4}{2\sqrt{2}}\cdot \frac{1}{{\pi }^{3/2}{n}^{3/2}}=\frac{\sqrt{2}\cdot 16^n}{{\pi }^{3/2}{n}^{3/2}}.$$
したがって
$$L=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{n^{3/2}{A}_n}{16^n}=\frac{\sqrt{2}}{{\pi }^{3/2}}.$$

$k=n/2+j$ とおく。ド・モアブル・ラプラスの局所極限定理（スターリングの公式）より、$j=O(\sqrt{n})$ の範囲で $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)\sim 2^n\sqrt{\frac{2}{\pi n}}{e}^{-2j^2/n}$。4 乗して ${\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)}^4\sim 16^n\frac{4}{{\pi }^2{n}^2}{e}^{-8j^2/n}$。裾（$|j|\gg \sqrt{n}$）の寄与は指数的に小さく無視できる。和をガウス積分で近似して ${\sum }_j{e}^{-8j^2/n}\sim {\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-8x^2/n}dx=\sqrt{\frac{\pi n}{8}}$。よって $A_n\sim 16^n\cdot \frac{4}{{\pi }^2{n}^2}\sqrt{\frac{\pi n}{8}}=16^n\cdot \frac{4}{{\pi }^2{n}^{3/2}}\cdot \frac{\sqrt{\pi }}{2\sqrt{2}}=16^n\cdot \frac{\sqrt{2}}{{\pi }^{3/2}{n}^{3/2}}$。したがって $L=\frac{\sqrt{2}}{{\pi }^{3/2}}\approx 0.254$。検算: $n=2$ で $n^{3/2}{A}_n/16^n=2\sqrt{2}\cdot 18/256\approx 0.199$ であり、$n$ が大きくなるにつれ $0.254$ に近づく傾向と整合する。