特殊関数・漸近解析の問題

方針. 和の主要部分は $k$ が $n/2$ の近くの項から来る。そこでの $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)$ をスターリングの公式でガウス型に近似し，和を積分で置き換える（離散版のラプラスの方法）。

1. 中央付近の近似. スターリングの公式 $m!=\sqrt{2\pi m}(m/e{)}^m(1+o(1))$ を用いる。$k=\frac{n}{2}+j$ とおき，$|j|\le n^{3/5}$ の範囲を考える。$k=np$，$p=\frac{1}{2}+\frac{j}{n}$ と書くと
$$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)=\frac{1+o(1)}{\sqrt{2\pi np(1-p)}}\exp (nH(p)),H(p)=-p\log p-(1-p)\log (1-p)$$
が $|j|\le n^{3/5}$ で一様に成り立つ。$H(\frac{1}{2})=\log 2$，$H^{\prime }(\frac{1}{2})=0$，$H^{\prime \prime }(p)=-\frac{1}{p(1-p)}$ より $H^{\prime \prime }(\frac{1}{2})=-4$，また $H^{\prime \prime \prime }$ は $p=\frac{1}{2}$ の近くで有界なので
$$nH(p)=n\log 2-\frac{2j^2}{n}+O\left(\frac{|j{|}^3}{n^2}\right)=n\log 2-\frac{2j^2}{n}+o(1)$$
（$|j{|}^3/n^2\le n^{9/5-2}\to 0$）。さらに $p(1-p)=\frac{1}{4}+o(1)$ だから，一様に
$$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)=(1+o(1))2^n\sqrt{\frac{2}{\pi n}}{e}^{-2j^2/n}.$$
よって
$${\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)}^3=(1+o(1))8^n{\left(\frac{2}{\pi n}\right)}^{3/2}{e}^{-6j^2/n}(|j|\le n^{3/5}).$$

2. 裾の評価. $H$ は $[0,1]$ で $p=\frac{1}{2}$ に関して対称で，$|p-\frac{1}{2}|$ について単調減少であり，$H(p)\le \log 2-2(p-\frac{1}{2}{)}^2$ が成り立つ（$g(p)=H(p)-\log 2+2(p-\frac{1}{2}{)}^2$ は $g(\frac{1}{2})=0$，$g^{\prime \prime }(p)=4-\frac{1}{p(1-p)}\le 0$，$g^{\prime }(\frac{1}{2})=0$ より $g\le 0$）。また $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)\le e^{nH(k/n)}$（二項定理 $1=\sum \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i}\right)p^i(1-p{)}^{n-i}$ で $p=k/n$ とした項から従う）。したがって $|j|>n^{3/5}$ では
$${\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)}^3\le 8^n{e}^{-6j^2/n}\le 8^n{e}^{-6n^{1/5}},$$
この範囲の項は高々 $n+1$ 個なので，裾の和は $8^n(n+1)e^{-6n^{1/5}}=o(8^n/n)$ である。

3. 和を積分に. $\frac{n}{2}+j$ が整数を動く（$j$ は間隔 $1$ で動く）ので，リーマン和として
$$\sum _{|j|\le n^{3/5}}{e}^{-6j^2/n}=(1+o(1)){\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-6t^2/n}dt=(1+o(1))\sqrt{\frac{\pi n}{6}}.$$
（$t=\sqrt{n}s$ と置けば，刻み $1/\sqrt{n}$ の $e^{-6s^2}$ のリーマン和であり，$n^{3/5}/\sqrt{n}\to \infty$ なので積分範囲は全体になる。）

4. まとめ.
$$A_n=(1+o(1))8^n{\left(\frac{2}{\pi n}\right)}^{3/2}\sqrt{\frac{\pi n}{6}}=(1+o(1))8^n\cdot \frac{2\sqrt{2}}{{\pi }^{3/2}{n}^{3/2}}\cdot \frac{\sqrt{\pi }\sqrt{n}}{\sqrt{6}}=(1+o(1))\frac{2}{\sqrt{3}\pi }\cdot \frac{8^n}{n}.$$
したがって
$$L=\frac{2}{\sqrt{3}\pi }=\frac{2\sqrt{3}}{3\pi }.$$

$u=k-n/2$ とおくと、ド・モアブル–ラプラスの局所極限定理（スターリングの公式）より $|u|=O(\sqrt{n}\log n)$ の範囲で $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)\sim 2^n\sqrt{\frac{2}{\pi n}}{e}^{-2u^2/n}$（それ以外の $k$ の寄与は $8^n$ に比べて指数的に小さい）。3 乗すると ${\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)}^3\sim 8^n{\left(\frac{2}{\pi n}\right)}^{3/2}{e}^{-6u^2/n}$。\n和をガウス積分で近似すると ${\sum }_u{e}^{-6u^2/n}\sim {\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-6u^2/n}du=\sqrt{\frac{\pi n}{6}}$。よって\n$$A_n\sim 8^n\cdot \frac{2\sqrt{2}}{(\pi n{)}^{3/2}}\cdot \sqrt{\frac{\pi n}{6}}=8^n\cdot \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{6}\pi n}=\frac{2}{\sqrt{3}\pi }\cdot \frac{8^n}{n}.$$\nしたがって $L=\frac{2}{\sqrt{3}\pi }=\frac{2\sqrt{3}}{3\pi }\approx 0.3676$。\n検算: $n=3$ で $A_3=56$ より $n{A}_n/8^n=0.328$、$n=4$ で $A_4=346$ より $0.338$ と増加しつつ $0.3676$ に近づく傾向で整合する（フランケル数の既知の漸近形 $\frac{2\sqrt{3}}{3\pi }\frac{8^n}{n}$ とも一致）。