特殊関数・漸近解析の問題

母関数の確認. $\frac{1}{1-z}\cdot \frac{1}{k!}(\frac{2z}{1-z}{)}^k=\frac{2^k}{k!}{z}^k(1-z{)}^{-k-1}$ の $z^n$ の係数は $\frac{2^k}{k!}\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)$ なので、$k$ について和をとれば問題文の展開が得られる。

コーシーの積分表示. $\frac{2z}{1-z}=\frac{2}{1-z}-2$ より、$0<r<1$ として
$$b_n=\frac{e^{-2}}{2\pi i}{\oint }_{|z|=r}\frac{1}{1-z}{e}^{g(z)}\frac{dz}{z},g(z)=\frac{2}{1-z}-n\log z.$$

鞍点. $g^{\prime }(z)=\frac{2}{(1-z{)}^2}-\frac{n}{z}$ なので、正の実軸上の鞍点 $r\in (0,1)$ は $\frac{2}{(1-r{)}^2}=\frac{n}{r}$ で定まる。$\delta =1-r$、$\epsilon =\sqrt{2/n}$ とおくと ${\delta }^2={\epsilon }^2(1-\delta )$ で、$\delta =\epsilon (1-\delta {)}^{1/2}$ を逐次代入して
$$\delta =\epsilon -\frac{{\epsilon }^2}{2}+\frac{{\epsilon }^3}{8}+O({\epsilon }^4).$$

$g(r)$ の展開.
$$\frac{2}{\delta }=\frac{2}{\epsilon }(1-\frac{\epsilon }{2}+\frac{{\epsilon }^2}{8}+O({\epsilon }^3){)}^{-1}=\frac{2}{\epsilon }+1+O(\epsilon ).$$
また $n=2/{\epsilon }^2$、${\delta }^2={\epsilon }^2-{\epsilon }^3+O({\epsilon }^4)$、${\delta }^3={\epsilon }^3+O({\epsilon }^4)$ より
$$-n\log (1-\delta )=\frac{2}{{\epsilon }^2}(\delta +\frac{{\delta }^2}{2}+\frac{{\delta }^3}{3}+O({\delta }^4))=\frac{2}{{\epsilon }^2}(\epsilon -\frac{{\epsilon }^3}{24}+O({\epsilon }^4))=\frac{2}{\epsilon }+O(\epsilon ).$$
よって $g(r)=\frac{4}{\epsilon }+1+O(\epsilon )=2\sqrt{2n}+1+o(1)$。

ガウス近似. $z=r{e}^{i\theta }$ とおき $\phi (\theta )=g(r{e}^{i\theta })$ とすると、$g^{\prime }(r)=0$ より ${\phi }^{\prime }(0)=0$、${\phi }^{\prime \prime }(0)=-r^2{g}^{\prime \prime }(r)$。
$$g^{\prime \prime }(r)=\frac{4}{{\delta }^3}+\frac{n}{r^2}=\sqrt{2}{n}^{3/2}(1+o(1))(\frac{4}{{\epsilon }^3}=4(\frac{n}{2}{)}^{3/2}=\sqrt{2}{n}^{3/2}).$$
寄与する幅は $\theta \sim n^{-3/4}$ で、$g^{\prime \prime \prime }\sim 12/{\delta }^4\sim n^2$ による 3 次の項は $n^2\cdot n^{-9/4}\to 0$ と無視できる。また $\mathrm{Re}\frac{1}{1-r{e}^{i\theta }}=\frac{1-r\cos \theta }{1-2r\cos \theta +r^2}$ は $\theta =0$ で最大で $|\theta |$ が大きくなると減少するので、$\theta =0$ の近く以外の寄与は指数的に小さい。因子 $\frac{1}{1-z}$ は鞍点の近くで $\frac{1}{\delta }(1+o(1))$ と置き換えられる。したがって
$$b_n\sim e^{-2}\cdot \frac{1}{2\pi }\cdot \frac{1}{\delta }{e}^{g(r)}{\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-\frac{\sqrt{2}{n}^{3/2}}{2}{\theta }^2}d\theta =e^{-2}\frac{1}{\delta }\frac{e^{g(r)}}{\sqrt{2\pi \sqrt{2}{n}^{3/2}}}.$$
$\frac{1}{\delta }\sim \frac{1}{\epsilon }=\sqrt{\frac{n}{2}}$、$e^{g(r)}\sim e^{2\sqrt{2n}+1}$ を代入して
$$b_n\sim e^{-1}{e}^{2\sqrt{2n}}\cdot \frac{\sqrt{n/2}}{2^{1/2}{2}^{1/4}\sqrt{\pi }{n}^{3/4}}=\frac{e^{2\sqrt{2n}}}{2^{5/4}e\sqrt{\pi }{n}^{1/4}}.$$

よって $L=\frac{1}{2^{5/4}e\sqrt{\pi }}$。

検算（和の側から）. $k\approx \sqrt{2n}$ のまわりの項が効き、そこでは $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)\approx \frac{n^k}{k!}{e}^{-k^2/(2n)}\approx \frac{n^k}{k!}{e}^{-1}$。${\sum }_k\frac{(2n{)}^k}{(k!{)}^2}=I_0(2\sqrt{2n})\sim \frac{e^{2\sqrt{2n}}}{\sqrt{2\pi \cdot 2\sqrt{2n}}}$ から同じ結果 $\frac{e^{2\sqrt{2n}-1}}{2^{5/4}\sqrt{\pi }{n}^{1/4}}$ が得られる（これは $b_n=L_n(-2)$ に対するペロンの公式とも一致する）。

ラゲール多項式 $L_n^{(\alpha )}(x)={\sum }_{k=0}^n\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+\alpha }{n-k}\right)\frac{(-x{)}^k}{k!}$ について $L_n(x)=L_n^{(0)}(x)={\sum }_k\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)\frac{(-x{)}^k}{k!}$、母関数は $\sum L_n(x)z^n=\frac{1}{1-z}\exp \left(-\frac{xz}{1-z}\right)$。$x=-2$ とおくと $b_n=L_n(-2)$。

負の実軸上での漸近挙動（ペロンの公式、Szegő の定理 8.22.3）: $x>0$ のとき
$$L_n^{(\alpha )}(-x)=\frac{1}{2\sqrt{\pi }}{e}^{-x/2}{x}^{-\alpha /2-1/4}{n}^{\alpha /2-1/4}{e}^{2\sqrt{nx}}(1+O(n^{-1/2}))。$$
$\alpha =0$, $x=2$ を代入して
$$b_n\sim \frac{1}{2\sqrt{\pi }}{e}^{-1}{2}^{-1/4}{n}^{-1/4}{e}^{2\sqrt{2n}}。$$
よって
$$L=\frac{1}{2\sqrt{\pi }e{2}^{1/4}}=\frac{1}{2^{5/4}\sqrt{\pi }e}\approx 0.0873。$$

検算: 鞍点法でも確認できる。$z=e^{-s}$（$s\to 0$）で $\frac{1}{1-z}\exp \frac{2z}{1-z}\approx \frac{1}{s}{e}^{2/s-1}$ とみなし、$e^{ns}\cdot \frac{1}{s}{e}^{2/s-1}$ の鞍点は $s_0=\sqrt{2/n}$、指数部は $e^{2\sqrt{2n}}\cdot e^{-1}$ となり、$e^{-2\sqrt{2n}}$ との相殺と $e^{-1}$ が一致する。$n=50$ での概算 $b_{50}\approx 1.8\times 10^7$ に対し、公式の主要項は $1.6\times 10^7$ で、誤差 $O(n^{-1/2})$ の範囲で整合する。