鞍点法による係数の漸近形

【仮定】$f(z)={\sum }_{k\ge 0}{f}_k{z}^k$ は収束半径 $R>0$（$R=\infty$ も可）のべき級数で、係数がすべて $f_k\ge 0$、$f(0)=f_0>0$ とし、さらに $f_k>0$ となる $k\ge 2$ が少なくとも 1 つある（$f$ は 1 次以下の多項式でない）とします。$R<\infty$ のときは、さらに方程式 $z{f}^{\prime }(z)=f(z)$ が $(0,R)$ に解をもつことを仮定します（$R=\infty$ ならこれは自動的に成り立ちます。下を見てください）。たとえば $f(z)=1+z$ はこの仮定を満たさず、実際 $z{f}^{\prime }(z)=f(z)$ は $z=1+z$ となって解がありません（$[x^n](1+x{)}^n=1$ で、この方法の対象外です）。

コーシーの積分公式（$f^{(n)}(0)/n!=[z^n]$）から、$0<r<R$ のどの円でも $$a_n=\frac{1}{2\pi i}{\oint }_{|z|=r}\frac{f(z{)}^n}{z^{n+1}}dz$$ です。$z=r{e}^{i\theta }$ とおくと $dz=izd\theta$ なので、$\frac{dz}{z^{n+1}}$ の $1/z$ が $d\theta$ に吸収されて $$a_n=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }{\left(\frac{f(r{e}^{i\theta })}{r{e}^{i\theta }}\right)}^{n}d\theta$$ となります。係数が非負なので三角不等式から $|f(r{e}^{i\theta })|\le \sum f_k{r}^k=f(r)$ で、被積分関数の絶対値は $\theta =0$ で最大値 $(f(r)/r{)}^n$ をとります。半径 $r$ は自由に選べるので、この最大値が最も小さくなる $r$、つまり $g(r)=f(r)/r$ を $(0,R)$ で最小にする $r$ を選ぶのが自然です。そのような $r$ があることは次のようにわかります。$g^{\prime }(r)=\frac{r{f}^{\prime }(r)-f(r)}{r^2}$ で、分子は $$p(r)=r{f}^{\prime }(r)-f(r)=\sum _{k\ge 0}(k-1)f_k{r}^k,p^{\prime }(r)=\sum _{k\ge 2}k(k-1)f_k{r}^{k-1}>0$$ なので $p$ は狭義単調増加で、$p(0)=-f_0<0$ です。$R=\infty$ なら、$f_k>0$（$k\ge 2$）の項から $p(r)\ge (k-1)f_k{r}^k-f_0\to \infty$ なので、中間値の定理により $p(z_0)=0$ となる $z_0>0$ がただ 1 つあります（$R<\infty$ のときは仮定により存在し、やはり唯一です）。$g$ は $(0,z_0)$ で減少、$(z_0,R)$ で増加するので、$z_0$ が $g$ の最小点です（$r\to 0+$ で $g(r)\to \infty$ となることとも整合します）。$h(z)=\log f(z)-\log z$ とおくとこの条件は $h^{\prime }(z_0)=0$、すなわち $z_0{f}^{\prime }(z_0)=f(z_0)$ です。この $z_0$ が鞍点です（実軸上では $h$ の最小点、円周方向には最大点になっているので「鞍」と呼びます）。

鞍点で円周をたどると何が起きるかを見るため、$\psi (u)=\log f(z_0{e}^u)-u-\log z_0=h(z_0{e}^u)$ とおきます（$u$ が 0 の近くなら $f(z_0{e}^u)$ は $f(z_0)>0$ の近くにあり、$\log$ は主値でとれます）。$z=z_0{e}^u$ として ${\psi }^{\prime }(u)=z{h}^{\prime }(z)$ なので ${\psi }^{\prime }(0)=0$、さらに ${\psi }^{\prime \prime }(u)=z{h}^{\prime }(z)+z^2{h}^{\prime \prime }(z)$ より ${\psi }^{\prime \prime }(0)=z_0^2{h}^{\prime \prime }(z_0)$ です。$h^{\prime \prime }=\frac{f^{\prime \prime }}{f}-{\left(\frac{f^{\prime }}{f}\right)}^2+\frac{1}{z^2}$ に鞍点の条件 $f^{\prime }(z_0)/f(z_0)=1/z_0$ を入れると $${\sigma }^2:={\psi }^{\prime \prime }(0)=\frac{z_0^2{f}^{\prime \prime }(z_0)}{f(z_0)}$$ となります。仮定から $f^{\prime \prime }(z_0)={\sum }_{k\ge 2}k(k-1)f_k{z}_0^{k-2}>0$（$f_k>0$ となる $k\ge 2$ があるため）なので、${\sigma }^2>0$ です。円周上では $u=i\theta$ なので、テイラー展開で $\psi (i\theta )=\psi (0)+\frac{{\sigma }^2}{2}(i\theta {)}^2+O({\theta }^3)=\log \frac{f(z_0)}{z_0}-\frac{{\sigma }^2}{2}{\theta }^2+O({\theta }^3)$。1 次の項が消えるのが鞍点を選んだ効果で、$(i\theta {)}^2=-{\theta }^2$ のおかげで実部が下がる（振動ではなく減衰になる）のが円を積分路にとる理由です。したがって被積分関数は $\theta =0$ の近くで ${\left(\frac{f(z_0)}{z_0}\right)}^n{e}^{-n{\sigma }^2{\theta }^2/2}$ のようにふるまいます。

あとはラプラスの方法と同じです。$\theta =t/\sqrt{n}$ と置換すれば各点で $e^{n(\psi (it/\sqrt{n})-\psi (0))}\to e^{-{\sigma }^2{t}^2/2}$ となり、$\delta >0$ を小さくとれば $|\theta |\le \delta$ で $\mathrm{Re}(\psi (i\theta )-\psi (0))\le -\frac{{\sigma }^2}{4}{\theta }^2$ が成り立つので、$e^{-{\sigma }^2{t}^2/4}$ を優関数として優収束定理が使えます。$\delta \le |\theta |\le \pi$ の部分は、$|f(z_0{e}^{i\theta })|<f(z_0)$（$0<|\theta |\le \pi$）という条件があれば、連続性と最大値の存在からある $q<1$ で $|f(z_0{e}^{i\theta })|\le qf(z_0)$ となり、寄与は $(f(z_0)/z_0{)}^n{q}^n$ 程度で無視できます（この条件は、たとえば $f_0>0$ かつ $f_1>0$ なら成り立ちます。等号には $1$ と $e^{i\theta }$ の向きがそろう、つまり $\theta =0$ が必要だからです）。ガウス積分 ${\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-n{\sigma }^2{\theta }^2/2}d\theta =\sqrt{\frac{2\pi }{n{\sigma }^2}}$ を使うと $$a_n\sim \frac{1}{2\pi }{\left(\frac{f(z_0)}{z_0}\right)}^n\sqrt{\frac{2\pi }{n{\sigma }^2}}=\frac{(f(z_0)/z_0{)}^n}{\sqrt{2\pi n{\sigma }^2}}$$ が得られます。つまり $\alpha =\frac{f(z_0)}{z_0}$、$C=\frac{1}{\sqrt{2\pi {\sigma }^2}}$ です。