複素数の指数関数・対数関数と分枝

$e^{z} = e^{x} (cos y + i sin y)$ を計算し、 $lo g z = lo g ∣ z ∣ + i ar g z$ の主値や偏角を $0 < ar g z < 2 π$ にとった分枝での $z^{1/2}$ , $lo g z$ の値を求められる（例: $lo g (- 1 - i)$ の主値を求める）

前提

オイラーの公式（大学数学微分積分）
極形式と積・商（数学C 複素数平面）

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算数中学高校大学大学院

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特別な直角三角形の辺の比（中学数学相似と三平方の定理）
弧度法と単位円による三角関数（数学II 三角関数）
$sin x / x$ の極限（数学III 極限）
加法定理と 2 倍角・半角・積和の公式（数学II 三角関数）
三角関数の導関数（数学III 微分法）
根号の乗除と加減（中学数学数と式）
指数の拡張と指数関数（数学II 指数関数と対数関数）
対数の定義と性質（数学II 指数関数と対数関数）
自然対数の底 $e$ （数学III 極限）
指数関数・対数関数の導関数（数学III 微分法）
増減・凹凸・漸近線とグラフ（数学III 微分法）
テイラー展開（大学数学微分積分）
無限等比級数と無限級数（数学III 極限）
べき級数と収束半径（大学数学微分積分）
複素数と 2 次方程式の虚数解（数学II 複素数と方程式）
オイラーの公式（大学数学微分積分）
極形式と積・商（数学C 複素数平面）

説明

複素数 $z = x + i y$ に対して指数関数 $e^{z}$ の値を計算し、その逆にあたる対数 $lo g z$ や平方根 $z^{1/2}$ の値を求められるようになります。複素数の対数は値が 1 つに決まらないため、偏角の範囲を 1 つ選んで値を 1 つに決めます。この選び方を「分枝」といいます。複素関数の計算や、べき $z^{a}$ の定義など、多くの場面で使います。

なぜそうしてよいのか

実数のときの指数法則 $e^{a + b} = e^{a} e^{b}$ が成り立つように、 $z = x + i y$ （ $x, y$ は実数）に対して $e^{z} = e^{x} e^{i y}$ と定めます。オイラーの公式を使うと $e^{z} = e^{x} (cos y + i sin y)$ です。これは絶対値 $e^{x}$ 、偏角 $y$ の極形式になっています。 $cos, sin$ は周期 $2 π$ をもつので $e^{z + 2 π i} = e^{z}$ となり、 $e^{z}$ は周期 $2 π i$ をもちます。

対数は「 $e^{w} = z$ となる $w$ 」として定めます。 $z \neq = 0$ とし、 $w = u + i v$ とおくと、 $e^{w} = e^{u} (cos v + i sin v)$ です。これが $z = ∣ z ∣ (cos θ + i sin θ)$ と等しくなるには、絶対値を比べて $e^{u} = ∣ z ∣$ 、つまり $u = lo g ∣ z ∣$ （実数の自然対数）が必要です。偏角は $v = θ + 2 nπ$ （ $n$ は整数）であればよいので、 $lo g z = lo g ∣ z ∣ + i ar g z$ となります。ただし $ar g z$ は $2 π$ の整数倍だけずれた無数の値をとります。 $z = 0$ では $e^{w} = 0$ となる $w$ がないので、 $lo g 0$ は定義されません。

値を 1 つに決めるため、偏角をある長さ $2 π$ の範囲に制限します。 $- π < ar g z \leq π$ にとったものを主値といい、 $Log z$ と書くことがあります。 $0 < ar g z < 2 π$ にとる分枝もよく使います。この分枝では正の実軸上の点（偏角 $0$ ）が範囲から外れるので、そこでは値を定めません。平方根も同じ考え方で $z^{1/2} = e^{\frac{1}{2} l o g z} = ∣ z ∣ e^{i θ /2}$ と定めます。 $θ$ を $2 π$ ずらすと $e^{iπ} = - 1$ 倍になるので、どの分枝を選ぶかで符号が決まります。

手順

$e^{z}$ を求めるときは $z = x + i y$ と実部・虚部に分け、 $e^{z} = e^{x} (cos y + i sin y)$ で計算する。
$lo g z$ や $z^{1/2}$ を求めるときは、まず $z \neq = 0$ を確かめ、絶対値 $∣ z ∣ = x^{2} + y^{2}$ を求める。
指定された範囲（主値なら $- π < θ \leq π$ 、別の分枝なら $0 < θ < 2 π$ など）の中で、 $cos θ = \frac{x}{∣ z ∣}$ と $sin θ = \frac{y}{∣ z ∣}$ を両方満たす偏角 $θ$ を 1 つ選ぶ。
対数は $lo g z = lo g ∣ z ∣ + i θ$ 、平方根は $z^{1/2} = ∣ z ∣ (cos \frac{θ}{2} + i sin \frac{θ}{2})$ に代入する。
必要なら $e^{l o g z} = z$ となることを確かめる。

例題

偏角を $0 < ar g z < 2 π$ にとった分枝で、 $lo g (1 - 3 i)$ の値を求めよ。

例題の解答

手順 2: $z = 1 - 3 i$ は $0$ ではない。絶対値は $∣ z ∣ = 1^{2} + (3)^{2} = 2$ である。

手順 3: $cos θ = \frac{1}{2}$ 、 $sin θ = - \frac{3}{2}$ を満たす $θ$ を探す。 $z$ は第 4 象限の点である。 $0 < θ < 2 π$ の範囲では $θ = \frac{5 π}{3}$ となる。主値なら $- \frac{π}{3}$ だが、この分枝ではそれに $2 π$ を加えた値をとる。

手順 4: $lo g z = lo g 2 + \frac{5 π}{3} i$ となる。

手順 5: $e^{l o g 2 + \frac{5 π}{3} i} = 2 (cos \frac{5 π}{3} + i sin \frac{5 π}{3}) = 2 (\frac{1}{2} - \frac{3}{2} i) = 1 - 3 i$ となり、正しい。

答え: $lo g 2 + \frac{5 π}{3} i$

よくある誤り

偏角を $tan θ = \frac{y}{x}$ だけから $θ = tan^{- 1} \frac{y}{x}$ と決めてしまう誤り。たとえば $- 1 - i$ では $tan^{- 1} 1 = \frac{π}{4}$ となるが、これは第 1 象限の角である。正しくは $cos θ, sin θ$ の符号から象限を確かめる。主値は $- \frac{3 π}{4}$ なので、 $lo g (- 1 - i) = \frac{1}{2} lo g 2 - \frac{3 π}{4} i$ となる。
指定された分枝の範囲を無視して、主値の偏角をそのまま使ってしまう誤り。 $0 < ar g z < 2 π$ の分枝では $lo g (- i) = - \frac{π}{2} i$ ではない。正しくは $lo g (- i) = \frac{3 π}{2} i$ である。
$e^{z}$ の絶対値を $e^{∣ z ∣}$ としてしまう誤り。正しくは $∣ e^{x + i y} ∣ = e^{x}$ で、虚部 $y$ は偏角にだけ影響する。たとえば $∣ e^{2 + 3 i} ∣ = e^{2}$ である。
$lo g (z_{1} z_{2}) = lo g z_{1} + lo g z_{2}$ が主値でも常に成り立つとしてしまう誤り。偏角の和が範囲 $(- π, π]$ からはみ出すと $2 π i$ ずれる。たとえば主値で $lo g (- 1) + lo g (- 1) = 2 π i$ だが、 $lo g ((- 1) (- 1)) = lo g 1 = 0$ である。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

この技能を使う問題

難易度 4（大学院入試の標準レベル）
留数定理を用いて、次の広義積分の値を求めよ。
$\int_{0}^{\infty} \frac{x lo g x}{( x + 1 ) ( x + 4 )} d x$

この技能の次に学べること

複素線積分とコーシーの積分定理（大学数学複素関数）
正弦関数の無限積表示と無限積の値（大学院数学複素解析・リーマン面）
等角写像の合成とリーマン写像（大学院数学複素解析・リーマン面）
モジュラー形式の定義と変換則（大学院数学楕円関数・モジュラー形式）