正弦関数の無限積表示と無限積の値

$\frac{s i n π z}{π z} = \prod_{n = 1}^{\infty} (1 - \frac{z ^{2}}{n ^{2}})$ と、有理式の因数分解（複素数の根を含む）・添字のずらしを組み合わせて、 $\prod_{n \geq 2} (1 - \frac{1}{n ^{4}})$ や $\prod_{n \geq 2} (1 + \frac{4}{n ^{4}})$ のような無限積の値を、 $sinh$ や $e^{x}$ を用いて求められる

前提

複素数の指数関数・対数関数と分枝（大学数学複素関数）
2 数を解とする 2 次方程式と複素数の範囲の因数分解（数学II 複素数と方程式）

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算数中学高校大学大学院

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極形式と積・商（数学C 複素数平面）
複素数の指数関数・対数関数と分枝（大学数学複素関数）
2 変数の対称式（数学I 数と式）
2 次方程式の解と係数の関係（数学II 複素数と方程式）
2 数を解とする 2 次方程式と複素数の範囲の因数分解（数学II 複素数と方程式）

説明

正弦関数は、すべての複素数 $z$ について
$\frac{sin π z}{π z} = n = 1 \prod \infty (1 - \frac{z ^{2}}{n ^{2}}) (z = 0 では左辺を 1 とみる)$
と無限積で表せます。これに $z$ として実数や虚数を代入し、さらに各因子を複素数の範囲で因数分解したり、最初の何項かを外したりすると、 $\prod_{n \geq 2} (1 - \frac{1}{n ^{4}})$ のような一見扱いにくい無限積の値を、 $sinh x = \frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2}$ や $e^{x}$ を使った閉じた形で求められます。

なぜそうしてよいのか

$\frac{sin π z}{π z}$ は $z = 0$ で値 $1$ をとり、 $0$ になるのはちょうど $z = \pm 1, \pm 2, \dots$ で、どれも重複のない零点です。次数 $2 N$ の多項式 $f$ で $f (0) = 1$ 、零点が $\pm 1, \dots, \pm N$ の $2 N$ 個であるものは $f (z) = \prod_{n = 1}^{N} (1 - \frac{z ^{2}}{n ^{2}})$ と因数分解されるので、その類推として上の無限積が成り立つと考えられます。実際にこれは定理として証明されており（オイラーが発見し、のちに厳密に証明された）、ここではこれを使います。両辺の $z^{2}$ の係数を比べると、左辺はテイラー展開 $sin π z = π z - \frac{( π z ) ^{3}}{6} + \dots$ から $- \frac{π ^{2}}{6}$ 、右辺は $- \sum \frac{1}{n ^{2}}$ となり、 $\sum_{n \geq 1} \frac{1}{n ^{2}} = \frac{π ^{2}}{6}$ という有名な値と矛盾しないことも確かめられます。虚数を代入すると双曲線関数が出てきます。オイラーの公式から $sin w = \frac{e ^{i w} - e ^{- i w}}{2 i}$ なので、実数 $y$ について $sin (i y) = \frac{e ^{- y} - e ^{y}}{2 i} = i sinh y$ です。よって $z = i y$ （ $y \neq = 0$ ）とおくと
$n = 1 \prod \infty (1 + \frac{y ^{2}}{n ^{2}}) = \frac{sin ( π i y )}{π i y} = \frac{sinh π y}{π y}$
が得られます。

無限積 $\prod (1 + a_{n})$ の値とは部分積 $\prod_{n = 1}^{N} (1 + a_{n})$ の $N \to \infty$ の極限のことです。次の事実を使います： $\sum ∣ a_{n} ∣$ が収束し、どの因子 $1 + a_{n}$ も $0$ でなければ、部分積は $0$ でない値に収束する。 理由は、 $∣ a_{n} ∣ \leq \frac{1}{2}$ となる $n$ では主値の対数のべき級数 $lo g (1 + w) = w - \frac{w ^{2}}{2} + \dots$ から $∣ lo g (1 + a_{n}) ∣ \leq ∣ a_{n} ∣ + ∣ a_{n} ∣^{2} + \dots \leq 2∣ a_{n} ∣$ となり、 $\sum lo g (1 + a_{n})$ が収束するからです。部分積はその部分和 $S_{N}$ を使って（最初の有限個の因子を別にして） $e^{S_{N}}$ と書け、 $e^{S} \neq = 0$ に収束します。たとえば $a_{n} = - \frac{z ^{2}}{n ^{2}}$ では $\sum ∣ a_{n} ∣ = ∣ z ∣^{2} \sum \frac{1}{n ^{2}}$ が収束します。

与えられた無限積がこの形に見えないときは、因子 $1 + \frac{c}{n ^{4}}$ などを複素数の範囲で $(1 - \frac{α ^{2}}{n ^{2}}) (1 - \frac{β ^{2}}{n ^{2}})$ の形に因数分解します。部分積 $\prod_{n = 2}^{N}$ は有限個の積なので因子を並べ替えてよく、分けた 2 つの無限積がそれぞれ収束するなら、もとの部分積は 2 つの部分積の積なので、もとの無限積の値はその 2 つの値の積です（収束する数列の積の極限）。 $n = 1$ などの最初の因子が積に入っていないときは、公式の値をその因子で割ります（割る因子が $0$ でなければ、部分積どうしで割ってから極限をとればよい）。割る因子が $0$ になる場合（ $z$ が整数のとき）は公式が使えないので、部分積を直接計算します。たとえば $\prod_{n = 2}^{N} (1 - \frac{1}{n ^{2}}) = \prod_{n = 2}^{N} \frac{( n - 1 ) ( n + 1 )}{n \cdot n}$ は分子と分母が次々に打ち消し合います。

手順

因子を $1 - \frac{z ^{2}}{n ^{2}}$ の形の積に分ける。必要なら複素数の範囲で因数分解する（例: $1 - \frac{1}{n ^{4}} = (1 - \frac{1}{n ^{2}}) (1 + \frac{1}{n ^{2}})$ 、 $1 + \frac{4}{n ^{4}} = (1 - \frac{2 i}{n ^{2}}) (1 + \frac{2 i}{n ^{2}}) = (1 - \frac{( 1 + i ) ^{2}}{n ^{2}}) (1 - \frac{( 1 - i ) ^{2}}{n ^{2}})$ ）
分けた各積 $\prod (1 + a_{n})$ について、 $\sum ∣ a_{n} ∣$ が収束すること（ $a_{n} = - \frac{z ^{2}}{n ^{2}}$ なら $∣ z ∣^{2} \sum \frac{1}{n ^{2}}$ ）と、積に含まれるどの因子も $0$ でないことを確かめる。これで各積は $0$ でない値に収束し、部分積で考えて別々の無限積に分けてよい
$n = 1$ から始まる積 $\prod_{n \geq 1} (1 - \frac{z ^{2}}{n ^{2}}) = \frac{s i n π z}{π z}$ に $z$ を代入する。虚数 $z = i y$ なら $\frac{s i n h π y}{π y}$ を使う
積が $n = 2$ などから始まるときは、外れている因子 $1 - \frac{z ^{2}}{1 ^{2}}$ などで割る。割る因子が $0$ になるとき（ $z$ が整数のとき）は公式を使わず、部分積を打ち消し合いで直接計算して $N \to \infty$ とする
得られた値を掛け合わせ、 $sinh$ や $e^{x}$ で整理する

例題

無限積 $n = 2 \prod \infty (1 - \frac{1}{n ^{4}})$ の値を求めよ。

例題の解答

【手順 1】 $1 - \frac{1}{n ^{4}} = (1 - \frac{1}{n ^{2}}) (1 + \frac{1}{n ^{2}})$ と分ける。

【手順 2】どちらも $∣ a_{n} ∣ = \frac{1}{n ^{2}}$ で $\sum_{n \geq 2} \frac{1}{n ^{2}}$ は収束し、 $n \geq 2$ では因子 $1 \mp \frac{1}{n ^{2}}$ は $0$ でない。よって $\prod_{n \geq 2} (1 - \frac{1}{n ^{2}})$ と $\prod_{n \geq 2} (1 + \frac{1}{n ^{2}})$ はどちらも $0$ でない値に収束し、部分積 $\prod_{n = 2}^{N}$ で考えて
$n = 2 \prod \infty (1 - \frac{1}{n ^{4}}) = n = 2 \prod \infty (1 - \frac{1}{n ^{2}}) \cdot n = 2 \prod \infty (1 + \frac{1}{n ^{2}}) .$

【手順 3・4】1 つ目は $z = 1$ にあたり、外す因子 $1 - 1^{2} = 0$ で割れないので、部分積を直接計算する：
$n = 2 \prod N (1 - \frac{1}{n ^{2}}) = n = 2 \prod N \frac{n - 1}{n} \cdot n = 2 \prod N \frac{n + 1}{n} = \frac{1}{N} \cdot \frac{N + 1}{2} = \frac{N + 1}{2 N} \to \frac{1}{2} .$

2 つ目： $z = i$ とおくと $\prod_{n \geq 1} (1 + \frac{1}{n ^{2}}) = \frac{sin π i}{π i} = \frac{i sinh π}{π i} = \frac{sinh π}{π}$ 。 $n = 1$ の因子 $1 + 1 = 2 \neq = 0$ で割って $\prod_{n \geq 2} (1 + \frac{1}{n ^{2}}) = \frac{sinh π}{2 π}$ 。

【手順 5】掛け合わせて
$n = 2 \prod \infty (1 - \frac{1}{n ^{4}}) = \frac{1}{2} \cdot \frac{sinh π}{2 π} = \frac{sinh π}{4 π} = \frac{e ^{π} - e ^{- π}}{8 π} .$

答え: $\frac{sinh π}{4 π}$

よくある誤り

積が $n = 2$ から始まるのに $n = 1$ からの公式をそのまま使ってしまう誤り。例えば $\prod_{n \geq 2} (1 + \frac{1}{n ^{2}}) = \frac{s i n h π}{π}$ としてしまう。正しくは $n = 1$ の因子 $2$ で割って $\frac{s i n h π}{2 π}$ 。
外す因子が $0$ になる場合に、 $z = 1$ を代入して $\frac{s i n π}{π \cdot 1 \cdot ( 1 - 1 ^{2} )} = \frac{0}{0}$ のように扱ってしまう誤り。正しくは部分積を直接計算し、 $\prod_{n = 2}^{N} (1 - \frac{1}{n ^{2}}) = \frac{N + 1}{2 N} \to \frac{1}{2}$ とする。
$sin (i y)$ を $sinh y$ や $- i sinh y$ としてしまう誤り。正しくは $sin (i y) = \frac{e ^{- y} - e ^{y}}{2 i} = i sinh y$ で、 $\frac{s i n π i y}{π i y} = \frac{s i n h π y}{π y}$ （ $y \neq = 0$ の実数なら正の実数になる）。
$1 + \frac{4}{n ^{4}}$ を $(1 + \frac{2}{n ^{2}})^{2}$ のように誤って分解する誤り（展開すると $1 + \frac{4}{n ^{2}} + \frac{4}{n ^{4}}$ で一致しない）。正しくは $1 + \frac{4}{n ^{4}} = (1 - \frac{2 i}{n ^{2}}) (1 + \frac{2 i}{n ^{2}})$ で、 $2 i = (1 + i)^{2}$ 、 $- 2 i = (1 - i)^{2}$ を使って $z = 1 + i, 1 - i$ を代入する形にする。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（大学院の講義の例題レベル）
正弦関数の無限積表示
$\frac{sin π z}{π z} = n = 1 \prod \infty (1 - \frac{z ^{2}}{n ^{2}}) (z \in C, z \neq = 0)$
を用いて、無限積
$P = n = 1 \prod \infty (1 + \frac{4}{n ^{2}})$
の値を、指数関数 $e^{x}$ と円周率 $π$ を用いて表せ。ただし $n$ は正の整数を動き、無限積は部分積 $n = 1 \prod N (1 + \frac{4}{n ^{2}})$ の $N \to \infty$ での極限とする。

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

$π cot π z$ の部分分数展開と級数の和（大学院数学複素解析・リーマン面）