この問題は、利用者からの報告を受けて確認中です。答えや解説に誤りがあるかもしれません。

複素解析・リーマン面の問題

難易度 1大学院の講義の例題レベル大学院数学複素解析・リーマン面

正弦関数の無限積表示
$\frac{sin π z}{π z} = n = 1 \prod \infty (1 - \frac{z ^{2}}{n ^{2}}) (z \in C, z \neq = 0)$
を用いて、無限積
$P = n = 1 \prod \infty (1 + \frac{4}{n ^{2}})$
の値を、指数関数 $e^{x}$ と円周率 $π$ を用いて表せ。ただし $n$ は正の整数を動き、無限積は部分積 $n = 1 \prod N (1 + \frac{4}{n ^{2}})$ の $N \to \infty$ での極限とする。

この問題で使うもの

正弦関数の無限積表示と無限積の値（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（61 技能）

算数中学高校大学大学院

読み込み中…

右端（太枠）がこの問題で使う技能です。左へドラッグすると、さらに前の前提をさかのぼれます。技能を押すと、そこまでの道筋が光ります。

一覧で見る（前提が先）

ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

技能「正弦関数の無限積表示と無限積の値」を使う。因子 $1 + \frac{4}{n ^{2}}$ が $1 - \frac{z ^{2}}{n ^{2}}$ の形になるような複素数 $z$ を探そう。

ヒント 2

$z^{2} = - 4$ となる $z = 2 i$ を代入すると、 $P = \frac{sin ( 2 π i )}{2 π i}$ となる。

ヒント 3

$sin w = \frac{e ^{i w} - e ^{- i w}}{2 i}$ に $w = 2 π i$ を代入すると $sin (2 π i) = \frac{e ^{- 2 π} - e ^{2 π}}{2 i}$ 。これを $2 π i$ で割って整理しよう。

答えと解説

答えを見る

\frac{e ^{2 π} - e ^{- 2 π}}{4 π}

結果を記録する（このブラウザにだけ保存されます）:

解説を読む

無限積表示に代入する $z$ を決める. 因子 $1 + \frac{4}{n ^{2}}$ を $1 - \frac{z ^{2}}{n ^{2}}$ の形にしたい。 $- z^{2} = 4$ 、すなわち $z^{2} = - 4$ となる $z$ として $z = 2 i$ をとると
$1 - \frac{( 2 i ) ^{2}}{n ^{2}} = 1 + \frac{4}{n ^{2}} .$
したがって無限積表示に $z = 2 i$ を代入して
$P = n = 1 \prod \infty (1 + \frac{4}{n ^{2}}) = \frac{sin ( 2 π i )}{2 π i} .$

$sin$ の純虚数での値を計算する. $sin w = \frac{e ^{i w} - e ^{- i w}}{2 i}$ に $w = 2 π i$ を代入すると、 $i w = - 2 π$ だから
$sin (2 π i) = \frac{e ^{- 2 π} - e ^{2 π}}{2 i} = \frac{i ( e ^{2 π} - e ^{- 2 π} )}{2} .$
（ $\frac{1}{i} = - i$ を使った。）

まとめる.
$P = \frac{1}{2 π i} \cdot \frac{i ( e ^{2 π} - e ^{- 2 π} )}{2} = \frac{e ^{2 π} - e ^{- 2 π}}{4 π} .$
これは $\frac{sinh 2 π}{2 π}$ とも書ける。

よって $P = \frac{e ^{2 π} - e ^{- 2 π}}{4 π}$ 。

別解

無限積表示で $z = 2 i$ とおくと $z^{2} = - 4$ なので $1 - \frac{z ^{2}}{n ^{2}} = 1 + \frac{4}{n ^{2}}$ 。したがって
$P = \frac{sin ( 2 π i )}{2 π i} .$
$sin (i y) = i sinh y$ より $sin (2 π i) = i sinh 2 π = i \cdot \frac{e ^{2 π} - e ^{- 2 π}}{2}$ 。よって
$P = \frac{i ( e ^{2 π} - e ^{- 2 π} ) /2}{2 π i} = \frac{e ^{2 π} - e ^{- 2 π}}{4 π} .$
検算: 数値で $e^{2 π} \approx 535.4917$ 、 $e^{- 2 π} \approx 0.001867$ なので $P \approx \frac{535.4898}{12.5664} \approx 42.61$ 。一方、部分積は $n = 1$ : 5、 $n = 2$ : 10、 $n = 3$ : $10 \cdot \frac{13}{9} \approx 14.44$ 、 $n = 4$ : $14.44 \cdot 1.25 = 18.06$ 、... と増加し、 $lo g P = \sum lo g (1 + 4/ n^{2})$ は収束するので値は有限で、数値評価とも矛盾しない（各項 $\approx 4/ n^{2}$ の和 $\approx 4 π^{2} /6 \approx 6.6$ 程度までで $lo g 42.6 \approx 3.75$ と整合）。

複素解析・リーマン面の問題

この問題で使うもの

ヒント

答えと解説

次のおすすめ

この問題の確認

間違いを報告する

関連する問題