複素解析・リーマン面の問題

1. 部分分数展開を微分する。 $$\pi \cot \pi z=\frac{1}{z}+\sum _{n=1}^{\infty }\left(\frac{1}{z-n}+\frac{1}{z+n}\right)$$ の右辺は、$\mathbb{C}\setminus \mathbb{Z}$ の任意のコンパクト集合上で一様収束する正則関数列の和である。$\frac{1}{z-n}+\frac{1}{z+n}=\frac{2z}{z^2-n^2}=O(n^{-2})$ だからである。ワイエルシュトラスの定理により項別微分ができる。1 回微分すると $$-\frac{{\pi }^2}{{\sin }^2\pi z}=-\sum _{n\in \mathbb{Z}}\frac{1}{(z+n{)}^2}$$ となる。もう 1 回微分すると、$\frac{d}{dz}{\sin }^{-2}\pi z=-2\pi \cos \pi z{\sin }^{-3}\pi z$ より $$\frac{2{\pi }^3\cos \pi z}{{\sin }^3\pi z}=2\sum _{n\in \mathbb{Z}}\frac{1}{(z+n{)}^3}$$ を得る。よって $$\sum _{n\in \mathbb{Z}}\frac{1}{(z+n{)}^3}=\frac{{\pi }^3\cos \pi z}{{\sin }^3\pi z}(z\notin \mathbb{Z})$$ である。この級数は絶対収束するので、和の順序は問わない。

2. $S$ を $\mathbb{Z}$ 全体の和に書き直す。 $n\in \mathbb{Z}$ について ${\sum }_{n\in \mathbb{Z}}\frac{1}{(3n+1{)}^3}$ を考える。
- $n\ge 0$ の項は $\frac{1}{(3n+1{)}^3}$ である。
- $n=-(m+1)$（$m\ge 0$）とおくと $3n+1=-(3m+2)$ なので、その項は $-\frac{1}{(3m+2{)}^3}$ になる。

したがって、絶対収束により並べ替えてよく、$$S=\sum _{n\in \mathbb{Z}}\frac{1}{(3n+1{)}^3}=\frac{1}{27}\sum _{n\in \mathbb{Z}}\frac{1}{{\left(n+\frac{1}{3}\right)}^3}$$ となる。

3. $z=\frac{1}{3}$ を代入する。 $\cos \frac{\pi }{3}=\frac{1}{2}$、$\sin \frac{\pi }{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$ より ${\sin }^3\frac{\pi }{3}=\frac{3\sqrt{3}}{8}$ である。よって $$\sum _{n\in \mathbb{Z}}\frac{1}{{\left(n+\frac{1}{3}\right)}^3}={\pi }^3\cdot \frac{1/2}{3\sqrt{3}/8}=\frac{4{\pi }^3}{3\sqrt{3}}=\frac{4\sqrt{3}{\pi }^3}{9}$$ となる。ゆえに $$S=\frac{1}{27}\cdot \frac{4\sqrt{3}{\pi }^3}{9}=\frac{4\sqrt{3}{\pi }^3}{243}$$ である。

4. 数値で確かめる。 $S\approx 0.8840$ であり、部分和 $1-\frac{1}{8}+\frac{1}{64}-\frac{1}{125}+\cdots$ とよく一致する。

$S={\sum }_{n\ge 0}\left((3n+1{)}^{-3}-(3n+2{)}^{-3}\right)$ は、$\chi (n)$ を $3$ を法とする非自明な指標（$\chi (1)=1,\chi (2)=-1,\chi (0)=0$）として $L(3,\chi )$ に等しい。

$n\in \mathbb{Z}$ 全体にわたる和に直す。$-(3n+2)=3(-n-1)+1$ より、${\sum }_{n\ge 0}(3n+2{)}^{-3}=-{\sum }_{m\le -1}(3m+1{)}^{-3}$ である。したがって
$$S=\sum _{n\in \mathbb{Z}}\frac{1}{(3n+1{)}^3}=\frac{1}{27}\sum _{n\in \mathbb{Z}}\frac{1}{(n+1/3{)}^3}.$$

$f(z)=\pi \cot \pi z={\sum }_{n\in \mathbb{Z}}\frac{1}{z+n}$（対称和）を $z$ で 2 回微分すると
$$f^{\prime \prime }(z)=\sum _{n\in \mathbb{Z}}\frac{2}{(z+n{)}^3}.$$

$f(z)=\pi \cot \pi z$ のとき、$f^{\prime }=-{\pi }^2{\csc }^2\pi z$ であり、
$$f^{\prime \prime }=2{\pi }^3{\csc }^2(\pi z)\cot (\pi z).$$

$z=1/3$ では ${\csc }^2(\pi /3)=4/3$、$\cot (\pi /3)=1/\sqrt{3}$ だから
$$f^{\prime \prime }(1/3)=2{\pi }^3\cdot \frac{4}{3}\cdot \frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{8{\pi }^3}{3\sqrt{3}}.$$

よって ${\sum }_{n\in \mathbb{Z}}(n+1/3{)}^{-3}=\frac{4{\pi }^3}{3\sqrt{3}}$ となり、
$$S=\frac{1}{27}\cdot \frac{4{\pi }^3}{3\sqrt{3}}=\frac{4{\pi }^3}{81\sqrt{3}}=\frac{4\sqrt{3}{\pi }^3}{243}.$$

検算：数値的に $4{\pi }^3/(81\sqrt{3})\approx 0.88402$ である。一方、級数の初めの 6 項（$n=0,\dots ,5$）の部分和は $0.88397$ で、残りの項は小さく正の値であり、よく一致する。