複素解析・リーマン面の問題

1. $\pi \cot \pi z$ の部分分数展開

正弦関数の無限積表示
$$\sin \pi z=\pi z\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-\frac{z^2}{n^2}\right)$$
は、$\mathbb{C}$ の各コンパクト集合上で一様に収束します。両辺の対数微分をとると、$\mathbb{Z}$ を除いた各コンパクト集合上で一様収束する級数
$$\pi \cot \pi z=\frac{1}{z}+\sum _{n=1}^{\infty }\frac{2z}{z^2-n^2}$$
が得られます。

一様収束する正則関数列は項別微分できる（ワイエルシュトラスの定理）ので、両辺を微分すると
$$-\frac{{\pi }^2}{{\sin }^2\pi z}=-\sum _{n\in \mathbb{Z}}\frac{1}{(z+n{)}^2}$$
となります。よって
$$\sum _{n\in \mathbb{Z}}\frac{1}{(z+n{)}^2}={\pi }^2{\csc }^2\pi z.$$

もう一度微分します。右辺の微分は
$${\pi }^2\cdot 2\csc \pi z\cdot (-\pi \csc \pi z\cot \pi z)=-2{\pi }^3{\csc }^2\pi z\cot \pi z$$
なので、
$$-2\sum _{n\in \mathbb{Z}}\frac{1}{(z+n{)}^3}=-2{\pi }^3{\csc }^2\pi z\cot \pi z$$
が成り立ちます。したがって
$$\sum _{n\in \mathbb{Z}}\frac{1}{(z+n{)}^3}={\pi }^3{\csc }^2(\pi z)\cot (\pi z)(z\notin \mathbb{Z})$$
です。左辺は絶対収束しています。

2. $S$ を両側級数で表す

$$\sum _{n\in \mathbb{Z}}\frac{1}{{\left(n+\frac{1}{3}\right)}^3}=27\sum _{n\in \mathbb{Z}}\frac{1}{(3n+1{)}^3}$$
と書き直し、$n$ の符号で分けます。

• $n\ge 0$ のとき、$3n+1=1,4,7,\dots$ です。
• $n=-(m+1)$（$m\ge 0$）のとき、$3n+1=-(3m+2)$ なので、項は $-\frac{1}{(3m+2{)}^3}$ になります。

絶対収束しているので項を並べ替えてよく、
$$\sum _{n\in \mathbb{Z}}\frac{1}{(3n+1{)}^3}=\sum _{n=0}^{\infty }\left(\frac{1}{(3n+1{)}^3}-\frac{1}{(3n+2{)}^3}\right)=S$$
となります。よって
$$S=\frac{1}{27}\sum _{n\in \mathbb{Z}}\frac{1}{{\left(n+\frac{1}{3}\right)}^3}.$$

3. 値の計算

$z=\frac{1}{3}$ を代入します。$\sin \frac{\pi }{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$ より ${\csc }^2\frac{\pi }{3}=\frac{4}{3}$、また $\cot \frac{\pi }{3}=\frac{1}{\sqrt{3}}$ です。よって
$$\sum _{n\in \mathbb{Z}}\frac{1}{{\left(n+\frac{1}{3}\right)}^3}={\pi }^3\cdot \frac{4}{3}\cdot \frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{4{\pi }^3}{3\sqrt{3}}$$
となり、
$$S=\frac{1}{27}\cdot \frac{4{\pi }^3}{3\sqrt{3}}=\frac{4{\pi }^3}{81\sqrt{3}}=\frac{4\sqrt{3}{\pi }^3}{243}$$
です。

4. 数値による確認

$\frac{4\sqrt{3}{\pi }^3}{243}\approx 0.8840$ です。一方、部分和は $1-\frac{1}{8}+\frac{1}{64}-\frac{1}{125}+\cdots \approx 0.8839$ となり、一致します。

答え $S=\frac{4\sqrt{3}{\pi }^3}{243}$

$\chi$ を法 3 の非自明な指標（$\chi (3n+1)=1,\chi (3n+2)=-1,\chi (3n)=0$）とすると、$S=L(3,\chi )={\sum }_{m\ge 1}\chi (m)/m^3$ である。

奇指標に対する関数等式、または ${\sum }_{n\in \mathbb{Z}}\frac{1}{(n+a{)}^3}$ の公式を使う。ここでは後者を用いる。
${\sum }_{n\in \mathbb{Z}}\frac{1}{(n+x{)}^3}=-\frac{\pi }{2}\frac{d^2}{d{x}^2}\cot (\pi x)={\pi }^3\frac{\cos \pi x}{{\sin }^3\pi x}$

$x=1/3$ とすると、${\sum }_{n\in \mathbb{Z}}\frac{27}{(3n+1{)}^3}={\pi }^3\cdot \frac{1/2}{(\sqrt{3}/2{)}^3}={\pi }^3\cdot \frac{4}{3\sqrt{3}}$ となる。

この左辺の和は、$n\ge 0$ の項 ${\sum }_{n\ge 0}\frac{1}{(3n+1{)}^3}$ と、$n<0$ の項 ${\sum }_{n\ge 0}\frac{-1}{(3n+2{)}^3}$ に分けられる（$n=-k-1$ のとき $3n+1=-(3k+2)$）。

よって ${\sum }_{n\in \mathbb{Z}}\frac{1}{(3n+1{)}^3}=S$ であり、$27S=\frac{4{\pi }^3}{3\sqrt{3}}$ となる。

$S=\frac{4{\pi }^3}{81\sqrt{3}}=\frac{4\sqrt{3}{\pi }^3}{243}\approx 0.88399$

検算：最初の数項の部分和を計算すると 約 0.8840 に収束しており、上の値と一致する。