複素解析・リーマン面の問題

収束. ${\sum }_{n\ge 2}\frac{4}{n^4}<\infty$ なので、無限積 $\prod (1+4/n^4)$ は $0$ でない値に（絶対）収束する。

因数分解. $t=\frac{1}{n^2}$ とみると
$$1+\frac{4}{n^4}=\left(1-\frac{2i}{n^2}\right)\left(1+\frac{2i}{n^2}\right).$$
$(1+i{)}^2=2i$, $(1-i{)}^2=-2i$ なので、$\alpha =1+i$, $\beta =1-i$ とおくと
$$1+\frac{4}{n^4}=\left(1-\frac{{\alpha }^2}{n^2}\right)\left(1-\frac{{\beta }^2}{n^2}\right).$$

正弦関数の無限積表示. すべての $z\in \mathbb{C}$ で
$$\sin \pi z=\pi z\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-\frac{z^2}{n^2}\right)$$
が成り立つ（右辺は広義一様に絶対収束する）。$\alpha ,\beta$ は整数でないので、各因子は $0$ でなく、絶対収束する積どうしは項ごとに掛け合わせてよい。よって
$$\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+\frac{4}{n^4}\right)=\frac{\sin \pi \alpha }{\pi \alpha }\cdot \frac{\sin \pi \beta }{\pi \beta }=\frac{\sin (\pi +\pi i)\sin (\pi -\pi i)}{{\pi }^2(1+i)(1-i)}.$$

値の計算. $\sin (\pi +w)=-\sin w$, $\sin (\pi -w)=\sin w$ と $\sin (\pi i)=i\sinh \pi$ より
$$\sin (\pi +\pi i)\sin (\pi -\pi i)=-{\sin }^2(\pi i)=-(i\sinh \pi {)}^2={\sinh }^2\pi .$$
また $(1+i)(1-i)=2$。したがって
$$\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+\frac{4}{n^4}\right)=\frac{{\sinh }^2\pi }{2{\pi }^2}.$$

$n=1$ の因子を除く. $n=1$ の因子は $1+4=5$ なので
$$P=\frac{1}{5}\cdot \frac{{\sinh }^2\pi }{2{\pi }^2}=\frac{{\sinh }^2\pi }{10{\pi }^2}=\frac{1}{10{\pi }^2}{\left(\frac{e^{\pi }-e^{-\pi }}{2}\right)}^2=\frac{{\left(e^{\pi }-e^{-\pi }\right)}^2}{40{\pi }^2}.$$

（数値の確認: $\sinh \pi \approx 11.549$ より $P\approx \frac{133.37}{98.70}\approx 1.351$。部分積 ${\prod }_{n=2}^6(1+4/n^4)\approx 1.345$ と整合する。）

$1+\frac{4}{n^4}$ の分子は $n^4+4=(n^2+2n+2)(n^2-2n+2)$（ソフィー・ジェルマンの恒等式）。

まず $n=1$ から始まる積 $Q={\prod }_{n=1}^{\infty }\left(1+\frac{4}{n^4}\right)$ を求める。$1+\frac{4}{n^4}=\left(1-\frac{(1+i{)}^2}{n^2}\right)\left(1-\frac{(1-i{)}^2}{n^2}\right)$ である（$(1+i{)}^2=2i,(1-i{)}^2=-2i$ で、$(1-\frac{2i}{n^2})(1+\frac{2i}{n^2})=1+\frac{4}{n^4}$）。正弦の無限積 $\sin (\pi z)=\pi z{\prod }_{n\ge 1}\left(1-\frac{z^2}{n^2}\right)$ より
$$Q=\frac{\sin (\pi (1+i))}{\pi (1+i)}\cdot \frac{\sin (\pi (1-i))}{\pi (1-i)}=\frac{\sin (\pi +i\pi )\sin (\pi -i\pi )}{2{\pi }^2}.$$
$\sin (\pi +i\pi )=-\sin (i\pi )=-i\sinh \pi$、$\sin (\pi -i\pi )=\sin (i\pi )=i\sinh \pi$ なので分子は $(-i\sinh \pi )(i\sinh \pi )={\sinh }^2\pi$。よって $Q=\frac{{\sinh }^2\pi }{2{\pi }^2}$。

$P=Q/(1+4/1^4)=Q/5$ なので
$$P=\frac{{\sinh }^2\pi }{10{\pi }^2}=\frac{(e^{\pi }-e^{-\pi }{)}^2}{40{\pi }^2}.$$
検算: $\sinh \pi \approx 11.5487$、${\sinh }^2\pi \approx 133.37$、$Q\approx 133.37/19.739\approx 6.757$、$P\approx 1.3514$。直接: $n=2$: $1.25$, $n=3$: $1.04938$（積 $1.3117$）, $n=4$: $1.015625$（$1.3322$）, $n=5$: $1.0064$（$1.3407$）と増え、残りの ${\sum }_{n\ge 6}4/n^4\approx 0.0105$ 程度を加味して $\approx 1.351$ に近づき整合する。