複素解析・リーマン面

一次分数変換
$$w=T(z)=\frac{z+2}{z-2}$$
を考える。$z$ 平面の単位円 $C=\{z\in \mathbb{C}\mid |z|=1\}$ の $T$ による像 $T(C)$ は $w$ 平面の円である。この円の中心を表す複素数 $\alpha$ と半径 $r$ を求め、組 $(\alpha ,r)$ の形で答えよ。

閉単位円板 $\overline{\mathbb{D}}=\{z\in \mathbb{C}\mid |z|\le 1\}$ 上で、関数
$$f(z)=z^2-z+1$$
を考える。$\overline{\mathbb{D}}$ における $|f(z)|$ の最大値を求めよ。

正弦関数の無限積表示
$$\frac{\sin \pi z}{\pi z}=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-\frac{z^2}{n^2}\right)(z\in \mathbb{C},z\ne 0)$$
を用いて、無限積
$$P=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+\frac{4}{n^2}\right)$$
の値を、指数関数 $e^x$ と円周率 $\pi$ を用いて表せ。ただし $n$ は正の整数を動き、無限積は部分積 $\prod _{n=1}^N\left(1+\frac{4}{n^2}\right)$ の $N\to \infty$ での極限とする。

複素アフィン平面曲線
$$y^3=x(x-1)$$
を考える。多項式 $F(x,y)=y^3-x^2+x$ は $\mathbb{C}[x,y]$ で既約であり、この曲線の射影的非特異モデルとして得られるコンパクトリーマン面を $X$ とする。座標関数 $x$ が定める正則写像 $x:X\to {\mathbb{P}}^1$（次数 $3$）について、点 $p\in X$ における分岐指数を $e_p$ とする。総和
$$\sum _{p\in X}(e_p-1)$$
を求めよ。

リーマン球面 $\hat{\mathbb{C}}=\mathbb{C}\cup \{\infty \}$ 上の一次分数変換 $T$ で、
$$T(0)=1,T(1)=i,T(\infty )=-1$$
を満たすものはただ 1 つ存在する。$T(1+i)$ の値を求めよ。

$X$ を連結なコンパクトリーマン面とし、$f:X\to {\mathbb{P}}^1$ を次数 $3$ の正則写像とする。$f$ の分岐点（分岐指数 $e_p\ge 2$ となる点 $p\in X$）はちょうど $6$ 個あり、そのうち $4$ 個では分岐指数が $e_p=2$、残りの $2$ 個では $e_p=3$ であるとする。$X$ の種数 $g_X$ を求めよ。

$X$ を、アフィン曲線 $$y^2=x^3+1$$ の射影的非特異モデルとして得られるコンパクトリーマン面（種数 $1$）とし、$x=\infty$ の上にあるただ 1 つの点を $P_{\infty }$ とする。$P_{\infty }$ における位数は $${\mathrm{ord}}_{P_{\infty }}(x)=-2,{\mathrm{ord}}_{P_{\infty }}(y)=-3$$ である。また、$X$ 上の有理関数で極を $P_{\infty }$ 以外にもたないものは、複素係数の $1$ 変数多項式 $a(x)$, $b(x)$ を用いてただ 1 通りに $a(x)+b(x)y$ と表されることを用いてよい。因子 $D=5P_{\infty }$ に対して $$L(D)=\{h\mid \mathrm{div}(h)+D\ge 0\}\cup \{0\}$$ と定めるとき、複素ベクトル空間 $L(D)$ の次元を求めよ。

複素平面の領域 $$D=\left\{z\in \mathbb{C}||z|<1,\left|z-\frac{7}{16}\right|>\frac{5}{16}\right\}$$ を考える（単位円板から閉円板 $\left|z-\frac{7}{16}\right|\le \frac{5}{16}$ を除いたもの）。実数 $R>1$ と一次分数変換 $T$ で、$T$ が $D$ を同心円環 $\{w\in \mathbb{C}\mid 1<|w|<R\}$ の上へ 1 対 1 に写すものが存在する。このときの $R$ の値を求めよ。

複素平面の第 1 象限 $$Q=\{z\in \mathbb{C}\mid \mathrm{Re}z>0,\mathrm{Im}z>0\}$$ と単位開円板 $\mathbb{D}=\{w\in \mathbb{C}\mid |w|<1\}$ を考え、$a=1+i$ とする。全単射な正則写像 $\phi :Q\to \mathbb{D}$ で $$\phi (a)=0,{\phi }^{\prime }(a)>0$$（${\phi }^{\prime }(a)$ は正の実数）を満たすものはただ 1 つ存在する。${\phi }^{\prime }(a)$ の値を求めよ。

$\mathbb{D}=\{z\in \mathbb{C}\mid |z|<1\}$ とする。$\mathbb{D}$ 上で正則で、すべての $z\in \mathbb{D}$ に対して $|f(z)|<1$ を満たし、さらに
$$f(0)=0,f\left(\frac{i}{2}\right)=0$$
を満たす関数 $f$ を考える。このような $f$ すべてにわたる $\left|f\left(\frac{1}{2}\right)\right|$ の最大値を求めよ。

複素平面曲線
$$y^4=x^2(x-1)(x+1)(x-2)$$
を考える。右辺を $f(x)=x^2(x-1)(x+1)(x-2)$ とおくと、$y^4-f(x)$ は $\mathbb{C}(x)[y]$ の既約多項式である。この曲線の射影的非特異モデル（正規化をとってコンパクト化したもの）として得られるコンパクトリーマン面を $X$ とし、$x:X\to {\mathbb{P}}^1$ を $x$ 座標による次数 $4$ の正則写像とする。$X$ の種数 $g$ を求めよ。

$X$ を種数 $6$ のコンパクトリーマン面とし、$\sigma$ を $X$ の位数 $4$ の正則自己同型とする。$\sigma$ の固定点はちょうど $2$ 個であり、${\sigma }^2$ の固定点はちょうど $6$ 個である（$\sigma$ の固定点も ${\sigma }^2$ の固定点に含めて数える）。$H=⟨\sigma ⟩$（位数 $4$ の巡回群）とし、商写像 $\pi :X\to X/H$ を考える。商リーマン面 $X/H$ の種数 $h$ を求めよ。

$X$ を、アフィン曲線
$$y^2=x^8+x$$
の射影的非特異モデルとして得られるコンパクトリーマン面とする（$x^8+x$ は重根をもたないので、$X$ は種数 $3$ の超楕円曲線である）。$x:X\to {\mathbb{P}}^1$ は次数 $2$ の正則写像で、$x=\infty$ の上には相異なる $2$ 点 ${\infty }_{+},{\infty }_{-}$ があり、そこでは分岐しない。

因子 $D=2{\infty }_{+}+{\infty }_{-}$ に対して
$$L(D)=\{h\mid h\text{ は }X\text{ 上の有理型関数で }\mathrm{div}(h)+D\ge 0\}\cup \{0\}$$
とおき、$\ell (D)={\dim }_{\mathbb{C}}L(D)$ とする。$\ell (D)$ を求めよ。

$\mathbb{D}=\{z\in \mathbb{C}\mid |z|<1\}$ とする。$\mathbb{D}$ 上で正則で、すべての $z\in \mathbb{D}$ に対して $|f(z)|<1$ を満たし、さらに
$$f(0)=0,f^{\prime }(0)=\frac{1}{2}$$
を満たす関数 $f$ を考える。このような $f$ すべてにわたる $\left|f\left(\frac{1}{2}\right)\right|$ の最大値を求めよ。

$\mathbb{Z}$ に属さないすべての複素数 $z$ に対して成り立つ部分分数展開
$$\pi \cot \pi z=\frac{1}{z}+\sum _{n=1}^{\infty }\frac{2z}{z^2-n^2}$$
を用いてよいものとする。次の無限級数の和 $S$ を求めよ。
$$S=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{4n^2+1}$$
ただし $n$ は正の整数を動く。答えは双曲線関数を使わず、$\pi$ と $e^{\pi }$（$e$ は自然対数の底）を用いて表せ。

一次分数変換
$$w=T(z)=\frac{z+1}{z-1}$$
を考える。$z$ 平面の円 $C=\{z\in \mathbb{C}\mid |z|=2\}$ の $T$ による像 $T(C)$ は、$w$ 平面の円
$$\{w\in \mathbb{C}\mid |w-c|=\rho \}(c\text{ は実数},\rho >0)$$
である。組 $(c,\rho )$ をこの順に求めよ。

$\mathbb{D}=\{z\in \mathbb{C}\mid |z|<1\}$ とする。正則関数 $f:\mathbb{D}\to \mathbb{C}$ で、次の条件をすべて満たすものを考える。
- すべての $z\in \mathbb{D}$ に対して $|f(z)|<1$
- $f(0)=0$
- $f\left(\frac{1}{2}\right)=0$

このような $f$ 全体にわたる $\left|f\left(-\frac{1}{3}\right)\right|$ の最大値を求めよ。

複素射影平面 ${\mathbb{P}}^2$ の斉次座標を $[X:Y:Z]$ とし、フェルマー四次曲線
$$C=\{[X:Y:Z]\in {\mathbb{P}}^2\mid X^4+Y^4+Z^4=0\}$$
を考える。$C$ は非特異な平面曲線であり、コンパクトリーマン面とみなす。$C$ の自己同型 $\tau$ を
$$\tau ([X:Y:Z])=[iX:-Y:Z]$$
で定める（$i$ は虚数単位）。$\tau$ が生成する位数 $4$ の巡回群を $H=⟨\tau ⟩$ とし、商写像 $\pi :C\to C/H$ を考える。$C/H$ はコンパクトリーマン面となり、$\pi$ は次数 $4$ の正則写像である。商リーマン面 $C/H$ の種数を求めよ。

無限積
$$P=\prod _{n=2}^{\infty }\left(1-\frac{1}{n^4}\right)$$
の値を求めよ。ただし $n$ は $2$ 以上の整数を動き、無限積は部分積 $P_N=\prod _{n=2}^N\left(1-\frac{1}{n^4}\right)$ の $N\to \infty$ での極限として定める。

上半平面を $H=\{z\in \mathbb{C}\mid \mathrm{Im}z>0\}$、単位開円板を $\mathbb{D}=\{w\in \mathbb{C}\mid |w|<1\}$ とする。正則な全単射 $T:H\to \mathbb{D}$ であって、
$$T(1+i)=0,T^{\prime }(1+i)\text{は正の実数}$$
を満たすものはただ 1 つ存在する。このとき $T(2i)$ の値を求めよ。

リーマン球面を $\hat{\mathbb{C}}=\mathbb{C}\cup \{\infty \}$ とし、互いに交わらない二つの閉円板 $\{|z|\le 1\}$, $\{|z-3|\le 1\}$ の外側の領域
$$D=\{z\in \mathbb{C}\mid |z|>1,|z-3|>1\}\cup \{\infty \}$$
を考える。ある実数 $R>1$ と一次分数変換（メビウス変換）$T(z)=\frac{az+b}{cz+d}$（$a,b,c,d\in \mathbb{C}$, $ad-bc\ne 0$）が存在して、$T$ は $D$ を円環領域
$$A_R=\{w\in \mathbb{C}\mid 1<|w|<R\}$$
の上へ全単射に写す。このときの $R$ の値を求めよ。（$R$ は $D$ によって一意に定まる。）

$\mathbb{D}=\{z\in \mathbb{C}\mid |z|<1\}$、右半平面を $\Pi =\{w\in \mathbb{C}\mid \mathrm{Re}w>0\}$ とする。正則関数 $f:\mathbb{D}\to \mathbb{C}$ で、次の条件をすべて満たすもの全体を $\mathcal{F}$ とする。
- すべての $z\in \mathbb{D}$ について $f(z)\in \Pi$
- $f(0)=1$
- $f^{\prime }(0)=0$

このとき
$$\underset{f\in \mathcal{F}}{\max }\mathrm{Im}f\left(\frac{1}{2}\right)$$
を求めよ。

$X$ を、アフィン曲線
$$y^2=x^7-x$$
の射影的非特異モデルとして得られるコンパクトリーマン面とする。$x:X\to {\mathbb{P}}^1$ は次数 $2$ の正則写像で、$x=\infty$ の上にはただ 1 点 ${\infty }_X$ がある。また $P_0$ を $(x,y)=(0,0)$ に対応する $X$ の点とする。

因子 $D$ に対して
$$L(D)=\{f\in \mathbb{C}(X{)}^{\times }\mid \mathrm{div}(f)+D\ge 0\}\cup \{0\},\ell (D)={\dim }_{\mathbb{C}}L(D)$$
と定める。因子
$$D=2{\infty }_X+2P_0$$
について、$\ell (D)$ を求めよ。

複素アフィン平面曲線
$$C:y^4-4y=x^3$$
を考える。多項式 $y^4-4y-x^3$ は $\mathbb{C}[x,y]$ で既約であり、$C$ は（アフィン部分で）非特異である。$C$ の射影的非特異モデルとして得られるコンパクトリーマン面を $X$ とし、座標関数 $x$ が定める次数 $4$ の正則写像 $x:X\to {\mathbb{P}}^1$ を考える。

この写像の分岐を調べ、リーマン・フルヴィッツの公式を用いて $X$ の種数 $g$ を求めよ。

正弦関数の無限積展開 $$\sin \pi z=\pi z\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-\frac{z^2}{n^2}\right)(z\in \mathbb{C})$$ を用いてよいものとする。級数 $$S=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{9n^2-1}$$ の値を求めよ。

$\hat{\mathbb{C}}=\mathbb{C}\cup \{\infty \}$ をリーマン球面、$\hat{\mathbb{R}}=\mathbb{R}\cup \{\infty \}$ とする。複素数 $a,b,c,d$（$ad-bc\ne 0$）に対し、一次分数変換 $T(z)=\frac{az+b}{cz+d}$ を通常の約束（$T(-d/c)=\infty$, $T(\infty )=a/c$、$c=0$ のときは $T(\infty )=\infty$）で $\hat{\mathbb{C}}$ から $\hat{\mathbb{C}}$ への写像とみなす。

$T(\hat{\mathbb{R}})\subset \hat{\mathbb{R}}$ が成り立つならば、ある実数 $\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta$（$\alpha \delta -\beta \gamma \ne 0$）が存在して、すべての $z\in \hat{\mathbb{C}}$ で $T(z)=\frac{\alpha z+\beta }{\gamma z+\delta }$ となることを証明せよ。

ただし、一次分数変換は $\hat{\mathbb{C}}$ の全単射であること、2 つの一次分数変換の合成は係数行列の積に対応する一次分数変換であること、$\left(\begin{array}{cc}p& q\\ r& s\end{array}\right)$ に対応する変換の逆変換は $\left(\begin{array}{cc}s& -q\\ -r& p\end{array}\right)$ に対応する変換であることは用いてよい。

複素射影平面 ${\mathbb{P}}^2$ の斉次座標を $[X:Y:Z]$ とし、クライン四次曲線
$$C=\{[X:Y:Z]\in {\mathbb{P}}^2\mid X^{3}Y+Y^{3}Z+Z^{3}X=0\}$$
を考える。$C$ は非特異であることを用いてよい。$C$ をコンパクトリーマン面とみなす。$C$ 上の 3 点を
$$P=[1:0:0],Q=[0:1:0],R=[0:0:1]$$
とおく。$C$ 上の因子 $D$ に対して
$$L(D)=\{f\mid f\text{ は }C\text{ 上の有理型関数で }\mathrm{div}(f)+D\ge 0\}\cup \{0\},\ell (D)={\dim }_{\mathbb{C}}L(D)$$
と定める。
$$(\ell (P+2Q),\ell (P+2R),\ell (3P+R))$$
をこの順に求めよ。

$D_2=\{z\in \mathbb{C}\mid |z|<2\}$ とする。$D_2$ 上で正則な関数 $f$ で、次の条件をすべて満たすものを考える。

• すべての $z\in D_2$ に対して $|f(z)|\le 3$
• $f(0)=0$ かつ $f(1)=0$

このような $f$ 全体を動かすとき、$|f(-1)|$ の最大値を求めよ。

多項式 $$p(z)=3z^4-4z^3-12z^2$$ を考え、$t=p(z)$ とおく。体の拡大 $\mathbb{C}(z)/\mathbb{C}(t)$ は次数 $4$ の有限次分離拡大である。その（$\mathbb{C}(z)$ を含む）ガロア閉包を $L$ とし、$L$ を関数体とするコンパクトリーマン面を $X$ とする。$X$ の種数 $g(X)$ を求めよ。

次の無限級数の和 $S$ を求めよ。$$S=\sum _{n=0}^{\infty }\left(\frac{1}{(3n+1{)}^3}-\frac{1}{(3n+2{)}^3}\right)$$ ただし $n$ は $0$ 以上の整数を動く。必要なら、$z\in \mathbb{C}\setminus \mathbb{Z}$ に対して成り立つ部分分数展開 $$\pi \cot \pi z=\frac{1}{z}+\sum _{n=1}^{\infty }\frac{2z}{z^2-n^2}$$ を用いてよい。答えは根号と円周率 $\pi$ を用いて表せ。

複素平面の領域
$$D=\left\{z\in \mathbb{C}||z|<1,\left|z-\frac{2}{5}\right|>\frac{2}{5}\right\}$$
を考える（単位円板から、閉円板 $\left|z-\frac{2}{5}\right|\le \frac{2}{5}$ を除いた、中心のずれた円環領域である）。実数 $R>1$ について、$D$ が円環 $A_R=\{w\in \mathbb{C}\mid 1<|w|<R\}$ に双正則（等角）同値になるような $R$ はただ 1 つ存在する。その $R$ の値を求めよ。

複素平面の二つの開円板の共通部分として得られるレンズ形の領域
$$D=\{z\in \mathbb{C}\mid |z|<1,|z-1|<1\}$$
を考える。$D$ は単連結な領域であり、リーマンの写像定理により、全単射な正則写像 $\phi :D\to \mathbb{D}$（$\mathbb{D}=\{w\in \mathbb{C}\mid |w|<1\}$）で
$$\phi \left(\frac{1}{2}\right)=0,{\phi }^{\prime }\left(\frac{1}{2}\right)>0$$
を満たすものがただ一つ存在する。${\phi }^{\prime }\left(\frac{1}{2}\right)$ の値を求めよ。

複素アフィン平面曲線
$$y^3-3y=x^4$$
を考える。多項式 $y^3-3y-x^4$ は $\mathbb{C}[x,y]$ で既約であり、このアフィン曲線は非特異である。この曲線の非特異射影モデルとして得られるコンパクトリーマン面を $X$ とする。座標関数 $x$ は次数 $3$ の正則写像 $x:X\to {\mathbb{P}}^1$ を定める。$X$ の種数 $g$ を求めよ。

無限積
$$P=\prod _{n=2}^{\infty }\left(1+\frac{4}{n^4}\right)$$
は収束する。$P$ の値を、指数関数 $e^x$ と円周率 $\pi$ を用いて表せ。

複素平面の領域 $$D=\left\{z\in \mathbb{C}||z|<1,\left|z-\frac{1}{2}\right|>\frac{1}{2}\right\}$$ を考える（単位開円板から、点 $z=1$ で単位円に内接する閉円板 $\left|z-\frac{1}{2}\right|\le \frac{1}{2}$ を除いた三日月形の領域）。$\mathbb{D}=\{w\in \mathbb{C}\mid |w|<1\}$ とし、$f:D\to \mathbb{D}$ を $f\left(-\frac{1}{3}\right)=0$ を満たす正則な全単射とする。このとき $\left|f\left(-\frac{1}{5}\right)\right|$ の値を求めよ。

複素射影平面 ${\mathbb{P}}^2$ の斉次座標を $[X:Y:Z]$ とし、フェルマー五次曲線 $$C=\{[X:Y:Z]\in {\mathbb{P}}^2\mid X^5+Y^5+Z^5=0\}$$ を考える。$C$ は非特異であり、コンパクトリーマン面とみなす。$\omega =e^{2\pi i/5}$ とし、$k=0,1,2,3,4$ に対して $$P_k=[1:-{\omega }^k:0]\in C$$ とおく。$C$ 上の因子 $$D=2P_0+2P_1+2P_2+P_3+P_4$$ に対して、$$L(D)=\{f\mid f\text{は}C\text{上の有理型関数で},f=0\text{または}(f)+D\ge 0\}$$ と定め、$\ell (D)={\dim }_{\mathbb{C}}L(D)$ とする。$\ell (D)$ を求めよ。

正弦関数の無限積表示
$$\sin (\pi z)=\pi z\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-\frac{z^2}{n^2}\right)(z\in \mathbb{C})$$
において、部分積 $P_N(z)=\pi z{\prod }_{n=1}^N\left(1-\frac{z^2}{n^2}\right)$ が $N\to \infty$ のとき $\mathbb{C}$ 上で広義一様に $\sin (\pi z)$ に収束することは用いてよい。また、正則関数列が領域上で広義一様に収束するとき、その導関数の列も極限関数の導関数に広義一様に収束すること（ワイエルシュトラスの定理）も用いてよい。

これらを用いて、任意の実数 $a>0$ に対して
$$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^2+a^2}=\frac{\pi a\coth (\pi a)-1}{2a^2}$$
が成り立つことを証明せよ。ここで $\coth x=\frac{\cosh x}{\sinh x}$ である。

$r$ を $0<r<\frac{1}{2}$ を満たす実数とします。複素平面上の 2 つの円
$$C_0=\{z\in \mathbb{C}\mid |z|=1\},C_1=\left\{z\in \mathbb{C}|\left|z-\frac{1}{2}\right|=r\right\}$$
を考え、閉領域
$$A=\left\{z\in \mathbb{C}||z|\le 1,\left|z-\frac{1}{2}\right|\ge r\right\}$$
とおきます（$\frac{1}{2}+r<1$ なので、$C_1$ が囲む閉円板は開単位円板に含まれます）。

次の条件 (i)〜(iii) をすべて満たす 6 個の閉円板 $D_1,D_2,\dots ,D_6$（いずれも半径は正）が存在するとします。

(i) 各 $D_k$ は $A$ に含まれ、その境界の円は $C_0$ とも $C_1$ とも接する。

(ii) $k=1,2,\dots ,6$ に対して $D_k$ と $D_{k+1}$ は接する（ただし $D_7=D_1$ とする）。

(iii) $D_1,\dots ,D_6$ の内部は互いに交わらない。

このとき $r$ の値を求めてください。

$\mathbb{D}=\{z\in \mathbb{C}\mid |z|<1\}$ とする。$\mathbb{D}$ 上の正則関数 $f$ で、すべての $z\in \mathbb{D}$ に対して $|f(z)|<1$ を満たし、さらに
$$f\left(\frac{3}{4}\right)=0,f^{\prime }\left(\frac{3}{4}\right)=0$$
を満たすもの全体を $\mathcal{F}$ とする。
$$M=\underset{f\in \mathcal{F}}{\sup }|f^{\prime }(0)|$$
の値を求めよ。

複素平面の領域
$$D=\{z\in \mathbb{C}\mid |z|<1,|z-1|<1\}$$
を考える（二つの開円板の共通部分で、レンズ形の単連結領域である）。$\mathbb{D}=\{w\in \mathbb{C}\mid |w|<1\}$ を開単位円板とする。

正則な全単射 $f:D\to \mathbb{D}$ であって
$$f\left(\frac{1}{2}\right)=0,f^{\prime }\left(\frac{1}{2}\right)>0$$
を満たすものがただ一つ存在する。$f^{\prime }\left(\frac{1}{2}\right)$ の値を求めよ。

複素アフィン平面曲線
$$C:y^{12}=x^3(x-1{)}^4(x-2{)}^6$$
を考える。$C$ は特異点をもつ。$C$ の射影的非特異モデル（正規化をとってコンパクト化したもの）として得られるコンパクトリーマン面を $X$ とする。有理関数 $x$ は正則写像 $x:X\to {\mathbb{P}}^1$ を定める。

この $X$ の種数 $g$ を求めよ。

次の無限級数の和 $S$ を求めよ。
$$S=\sum _{n=0}^{\infty }\left(\frac{1}{(3n+1{)}^3}-\frac{1}{(3n+2{)}^3}\right)$$
ただし $n$ は $0$ 以上の整数を動く。答えは円周率 $\pi$ と根号を用いて表せ。

$\mathbb{D}=\{z\in \mathbb{C}\mid |z|<1\}$ とする。$\mathbb{D}$ 上の正則関数 $f$ で
$$f(\mathbb{D})\subset \mathbb{D},f(0)=0,f^{\prime }(0)=\frac{1}{3}$$
を満たすもの全体を $\mathcal{F}$ とする。
$$M=\underset{f\in \mathcal{F}}{\sup }\left|f\left(\frac{1}{2}\right)\right|$$
の値を求めよ。

次の無限級数の和 $S$ を求めよ。
$$S=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{n^2}{n^4+n^2+1}$$
ただし $n$ は正の整数を動く。答えは双曲線関数 $\tanh x=\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}$ を用いて表してよい。

複素平面曲線
$$y^6=x^2(x-1{)}^3(x+1{)}^5$$
を考える。右辺の多項式を $f(x)=x^2(x-1{)}^3(x+1{)}^5$ とおくと、$y^6-f(x)$ は $\mathbb{C}(x)[y]$ の既約多項式である。この曲線の関数体 $\mathbb{C}(x)[y]/(y^6-f(x))$ に対応するコンパクトリーマン面（射影的非特異モデル）を $X$ とし、$x$ が定める正則写像 $x:X\to {\mathbb{P}}^1$（次数 $6$）を考える。

$X$ の種数 $g$ を求めよ。

$X$ を、アフィン曲線
$$y^2=x^8-1$$
の射影的非特異モデルとして得られるコンパクトリーマン面とする。$x:X\to {\mathbb{P}}^1$ は次数 $2$ の正則写像で、$x=\infty$ の上には相異なる 2 点 ${\infty }_{+},{\infty }_{-}$ がある。また $W=(1,0)\in X$ とする。

因子 $D=2W+{\infty }_{+}+{\infty }_{-}$ に対し、
$$L(D)=\{h\in \mathbb{C}(X{)}^{\times }\mid \mathrm{div}(h)+D\ge 0\}\cup \{0\}$$
とおく。複素ベクトル空間 $L(D)$ の次元 $\ell (D)$ を求めよ。

級数
$$S=\sum _{n=0}^{\infty }\frac{1}{n^2+n+1}$$
の値を求めよ。必要なら、$\mathbb{Z}$ に属さない $z\in \mathbb{C}$ に対して成り立つ部分分数展開
$$\pi \cot \pi z=\underset{N\to \infty }{\lim }\sum _{n=-N}^N\frac{1}{z-n}$$
を用いてよい。答えは双曲線関数 $\tanh$ を用いて表してよい。

複素射影平面 ${\mathbb{P}}^2$ の斉次座標を $[x:y:z]$ とし、射影曲線
$$X:x^4+y^4=z^4$$
を考える。$X$ は非特異であり、コンパクトリーマン面とみなす。点 $P=[1:0:1]\in X$ をとる。

$X$ 上の因子 $D$ に対して
$$L(D)=\{f\text{は}X\text{上の有理型関数}\mid f=0\text{または}(f)+D\ge 0\},\ell (D)={\dim }_{\mathbb{C}}L(D)$$
と定める。正の整数 $n$ に対して $\ell (nP)$ を考えるとき、組
$$(\ell (P),\ell (2P),\ell (3P),\ell (4P),\ell (5P),\ell (6P))$$
をこの順に求めよ。

$\mathbb{D}=\{z\in \mathbb{C}\mid |z|<1\}$ を開単位円板とする。$\mathbb{D}$ 上で正則で、すべての $z\in \mathbb{D}$ に対して $|f(z)|<1$ を満たし、さらに
$$f\left(\frac{1}{2}\right)=0,f\left(-\frac{1}{3}\right)=0$$
を満たす関数 $f$ 全体の集合を $\mathcal{F}$ とする（零点 $\frac{1}{2},-\frac{1}{3}$ の位数は 1 以上であれば何でもよい）。$f$ が $\mathcal{F}$ 全体を動くとき、原点における微分係数の絶対値 $|f^{\prime }(0)|$ の最大値を求めよ。なお、この最大値は $\mathcal{F}$ のある元で実際に達成される。

$\pi \cot \pi z$ の部分分数展開
$$\pi \cot \pi z=\frac{1}{z}+\sum _{n=1}^{\infty }\frac{2z}{z^2-n^2}(z\in \mathbb{C}\setminus \mathbb{Z})$$
を用いてよいものとする。無限級数
$$S=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^4+4}$$
の値を求めよ。ただし、$e$ は自然対数の底とし、答えは双曲線関数を使わずに $\pi$ と $e^{2\pi }$ を用いて表せ。

有理関数体 $\mathbb{C}(x)$ の代数拡大体
$$K=\mathbb{C}(x)(y,w),y^2=x^5-x,w^2=x^3+1$$
を考える。$x^5-x$, $x^3+1$, $(x^5-x)(x^3+1)$ はいずれも $\mathbb{C}(x)$ の中で平方元ではないので、$[K:\mathbb{C}(x)]=4$ であり、$K/\mathbb{C}(x)$ はガロア群が $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ のガロア拡大である。

$K$ を有理型関数体にもつコンパクトリーマン面を $X$ とし、$x$ が定める次数 $4$ の正則写像 $x:X\to {\mathbb{P}}^1$ を考える。$X$ の種数を求めよ。

$\mathbb{D}=\{z\in \mathbb{C}\mid |z|<1\}$ とする。正則関数 $f:\mathbb{D}\to \mathbb{D}$ で $$f(0)=0,f\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{3}$$ を満たすもの全体を $\mathcal{F}$ とする。$f\in \mathcal{F}$ を動かすときの $|f^{\prime }(0)|$ の最大値を求めよ。

$\mathbb{D}=\{z\in \mathbb{C}:|z|<1\}$ とする。$f:\mathbb{D}\to \mathbb{D}$ は正則で $f(0)=0$ をみたすとし、$a=|f^{\prime }(0)|$ とおく。このとき、すべての $z\in \mathbb{D}$ に対して
$$|f(z)|\le |z|\frac{|z|+a}{1+a|z|}$$
が成り立つことを証明せよ。

ただし、次の事実は証明なしに用いてよい。
- シュワルツの補題: 正則関数 $h:\mathbb{D}\to \mathbb{D}$ が $h(0)=0$ をみたせば、すべての $z\in \mathbb{D}$ で $|h(z)|\le |z|$ である。
- 最大値原理: 連結な開集合上の正則関数の絶対値が内点で最大値をとれば、その関数は定数である。
- $|c|<1$ のとき、${\phi }_c(w)=\frac{w-c}{1-\overline{c}w}$ は $\mathbb{D}$ から $\mathbb{D}$ への正則な全単射で、逆写像は ${\phi }_{-c}(w)=\frac{w+c}{1+\overline{c}w}$ である。

シュワルツ＝ピックの補題（$f(0)=0$ を仮定しない形）は、用いる場合には証明すること。

$X$ を種数 $g$（$g\ge 0$）の連結なコンパクトリーマン面とし、$\sigma :X\to X$ を $\sigma \ne {\mathrm{id}}_X$, $\sigma \circ \sigma ={\mathrm{id}}_X$ をみたす双正則写像とする。$\sigma$ の固定点全体を $F=\{p\in X:\sigma (p)=p\}$ とおく。

このとき、$F$ は有限集合であり、その個数 $r=\#F$ はある $0$ 以上の整数 $h$ を用いて $r=2g+2-4h$ と表せることを証明せよ（特に $r\le 2g+2$ かつ $r\equiv 2g+2(\mathrm{mod}4)$ である）。

ただし、次の事実は証明なしに用いてよい。
- 商空間 $Y=X/⟨\sigma ⟩$ は連結なコンパクトリーマン面の構造をもち、商写像 $\pi :X\to Y$ は次数 $2$ の正則写像で、各 $p\in X$ に対し ${\pi }^{-1}(\pi (p))=\{p,\sigma (p)\}$ である。
- 連結なコンパクトリーマン面の間の定数でない正則写像 $f:X\to Y$ の次数を $d$ とすると、各 $y\in Y$ で ${\sum }_{q\in f^{-1}(y)}{e}_q(f)=d$（$e_q(f)$ は $q$ での分岐指数）であり、分岐指数が $2$ 以上の点は有限個で、リーマン・フルヴィッツの公式 $2g(X)-2=d(2g(Y)-2)+{\sum }_{q\in X}(e_q(f)-1)$ が成り立つ。

$X$ を種数 $g\ge 1$ の連結なコンパクトリーマン面とし、$p\in X$ を 1 点とする。$X$ 上の因子 $D$ に対し
$$L(D)=\{f:f\text{ は }X\text{ 上の有理型関数で、}f=0\text{ または }\mathrm{div}(f)+D\ge 0\},\ell (D)={\dim }_{\mathbb{C}}L(D)$$
とおく。整数 $n\ge 0$ に対し $np$ は点 $p$ に係数 $n$ をもつ因子を表し、$0p=0$ とする。
$$G(p)=\{n\in \mathbb{Z}:n\ge 1,\ell (np)=\ell ((n-1)p)\}$$
と定め、$G(p)$ の要素を $p$ の空隙値とよぶ。このとき
$$\sum _{n\in G(p)}n\le g^2$$
であり、等号が成り立つのは $2\notin G(p)$ のとき、かつそのときに限ることを証明せよ。

ただし、次の事実（ワイエルシュトラスの空隙定理）は証明なしに用いてよい: $G(p)$ はちょうど $g$ 個の要素からなり、$G(p)\subset \{1,2,\dots ,2g-1\}$ である。