複素解析・リーマン面の問題

以下、$\coth x=\frac{\cosh x}{\sinh x}=\frac{e^x+e^{-x}}{e^x-e^{-x}}$ を計算の途中で用いる。

1. 基本の和. $c\in \mathbb{C}$ が $ic\notin \mathbb{Z}$ を満たすとき、与えられた展開に $z=ic$ を代入する。$\cot (iw)=\frac{\cos iw}{\sin iw}=\frac{\cosh w}{i\sinh w}=-i\coth w$ より $\pi \cot (\pi ic)=-i\pi \coth (\pi c)$ であり、右辺は
$$\frac{1}{ic}+\sum _{n=1}^{\infty }\frac{2ic}{-c^2-n^2}=-i\left(\frac{1}{c}+\sum _{n=1}^{\infty }\frac{2c}{n^2+c^2}\right)$$
となる。よって
$$\frac{1}{c}+\sum _{n=1}^{\infty }\frac{2c}{n^2+c^2}=\pi \coth \pi c,\text{すなわち}\sum _{n\in \mathbb{Z}}\frac{1}{n^2+c^2}=\frac{\pi }{c}\coth \pi c.\text{\hspace{1em}(1)}$$

2. 部分分数分解. $n^4+4=(n^2-2i)(n^2+2i)$ より
$$\frac{1}{n^4+4}=\frac{1}{4i}\left(\frac{1}{n^2-2i}-\frac{1}{n^2+2i}\right).$$
ここで $(1-i{)}^2=-2i$, $(1+i{)}^2=2i$ なので、$n^2-2i=n^2+(1-i{)}^2$, $n^2+2i=n^2+(1+i{)}^2$ と書ける。$c=1\pm i$ は $ic=\mp 1+i\notin \mathbb{Z}$ を満たすので $(1)$ が使え、各級数は絶対収束するから項別に分けてよい:
$$\sum _{n\in \mathbb{Z}}\frac{1}{n^4+4}=\frac{1}{4i}\left(\frac{\pi \coth \pi (1-i)}{1-i}-\frac{\pi \coth \pi (1+i)}{1+i}\right).$$

3. $\coth \pi (1\pm i)$ の計算. $\sinh (w+\pi i)=-\sinh w$, $\cosh (w+\pi i)=-\cosh w$ だから $\coth$ は周期 $\pi i$ をもち、$\coth (\pi \pm \pi i)=\coth \pi$。よって
$$\sum _{n\in \mathbb{Z}}\frac{1}{n^4+4}=\frac{\pi \coth \pi }{4i}\left(\frac{1}{1-i}-\frac{1}{1+i}\right)=\frac{\pi \coth \pi }{4i}\cdot \frac{(1+i)-(1-i)}{2}=\frac{\pi \coth \pi }{4i}\cdot i=\frac{\pi \coth \pi }{4}.$$

4. 正の $n$ の和へ. 被和項は $n$ について偶関数で、$n=0$ の項は $\frac{1}{4}$ だから
$$S=\frac{1}{2}\left(\frac{\pi \coth \pi }{4}-\frac{1}{4}\right)=\frac{\pi \coth \pi -1}{8}.$$

5. 指数関数で表す. $\coth \pi =\frac{e^{\pi }+e^{-\pi }}{e^{\pi }-e^{-\pi }}=\frac{e^{2\pi }+1}{e^{2\pi }-1}$（分母・分子に $e^{\pi }$ を掛けた）より
$$S=\frac{1}{8}\left(\frac{\pi \left(e^{2\pi }+1\right)}{e^{2\pi }-1}-1\right).$$

（数値確認: $\coth \pi \approx 1.003742$ より $S\approx 0.269168$。実際 $\frac{1}{5}+\frac{1}{20}+\frac{1}{85}+\frac{1}{260}+\cdots \approx 0.2692$ と一致する。）

$n^4+4=(n^2-2n+2)(n^2+2n+2)=((n-1{)}^2+1)((n+1{)}^2+1)$。部分分数分解すると $\frac{1}{n^4+4}=\frac{1}{8}\left[\frac{1-(n-1)}{(n-1{)}^2+1}+\frac{1+(n+1)}{(n+1{)}^2+1}\right]$（通分して分子が 8 になることで確かめられる）。

$T={\sum }_{n\ge 1}\frac{1}{n^2+1}$ とおく。与えられた展開に $z=i$ を代入すると $\pi \cot (\pi i)=-i\pi \coth \pi$、右辺は $\frac{1}{i}+\sum \frac{2i}{-1-n^2}=-i-2iT$ なので $\pi \coth \pi =1+2T$、すなわち $T=\frac{\pi \coth \pi -1}{2}$。

$m=n-1(m\ge 0)$、$k=n+1(k\ge 2)$ とおくと、
$8S={\sum }_{m\ge 0}\frac{1}{m^2+1}+{\sum }_{k\ge 2}\frac{1}{k^2+1}+{\lim }_{N\to \infty }\left(-{\sum }_{m=0}^{N-1}\frac{m}{m^2+1}+{\sum }_{k=2}^{N+1}\frac{k}{k^2+1}\right)$。

第 1 項は $1+T$、第 2 項は $T-\frac{1}{2}$、第 3 項は部分和の端の項だけが残り $-\frac{1}{2}$（$m=0$ の項は 0、$m=1$ の項は $\frac{1}{2}$、末尾の項は 0 に収束）。

よって $8S=2T+\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\cdot 1\cdot$ を整理して $8S=(1+2T)-1-\dots$ ではなく、$8S=2T+\frac{1}{2}-\frac{1}{2}=2T+\frac{1}{2}-\frac{1}{2}$ とせず正確に計算すると、$8S=(1+T)+(T-\frac{1}{2})-\frac{1}{2}=2T=\pi \coth \pi -1$。

$\coth \pi =\frac{e^{2\pi }+1}{e^{2\pi }-1}$ より $S=\frac{1}{8}\left(\pi \frac{e^{2\pi }+1}{e^{2\pi }-1}-1\right)$。

検算: 数値で $\coth \pi \approx 1.003742$、$S\approx (3.15336-1)/8\approx 0.26917$。直接和は $0.2+0.05+0.01176+0.003846+0.00159+0.00077+0.000416\approx 0.26838$、$n\ge 8$ の残りは約 $0.0008$ で合計 $\approx 0.2692$ となり一致する。