複素解析・リーマン面の問題

両側和に直す

$n\mapsto -1-n$ とすると $(-1-n{)}^2+(-1-n)+1=n^2+n+1$ なので、$n\ge 0$ の項と $n\le -1$ の項は 1 対 1 に対応して等しい。よって
$$T=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\frac{1}{n^2+n+1}$$
とおくと $S=\frac{T}{2}$ である（項は $O(n^{-2})$ なので絶対収束し、和の順序は自由に変えてよい）。

部分分数分解

$z^2+z+1=0$ の根を
$$\alpha =\frac{-1+\sqrt{3}i}{2},\beta =\frac{-1-\sqrt{3}i}{2}$$
とすると $\alpha -\beta =\sqrt{3}i$ で、
$$\frac{1}{n^2+n+1}=\frac{1}{(n-\alpha )(n-\beta )}=\frac{1}{\alpha -\beta }\left(\frac{1}{n-\alpha }-\frac{1}{n-\beta }\right)$$
である。$\alpha ,\beta \notin \mathbb{Z}$ なので与えられた展開から
$$\underset{N\to \infty }{\lim }\sum _{n=-N}^N\frac{1}{n-\alpha }=-\pi \cot \pi \alpha$$
が成り立ち、$\beta$ についても同様である。したがって
$$T=\frac{1}{\sqrt{3}i}(-\pi \cot \pi \alpha +\pi \cot \pi \beta )$$

$\cot$ の値

$\pi \alpha =-\frac{\pi }{2}+i\frac{\sqrt{3}\pi }{2}$ である。$\cot \left(w-\frac{\pi }{2}\right)=-\tan w$ と $\tan (iy)=i\tanh y$ より、$c=\frac{\sqrt{3}\pi }{2}$ とおくと
$$\cot \pi \alpha =-\tan (ic)=-i\tanh c,\cot \pi \beta =-\tan (-ic)=i\tanh c$$
よって
$$T=\frac{\pi }{\sqrt{3}i}(i\tanh c+i\tanh c)=\frac{2\pi }{\sqrt{3}}\tanh \frac{\sqrt{3}\pi }{2}$$

答え

$$S=\frac{T}{2}=\frac{\pi }{\sqrt{3}}\tanh \frac{\sqrt{3}\pi }{2}$$

（数値は約 $1.798$ で、部分和 $1+\frac{1}{3}+\frac{1}{7}+\frac{1}{13}+\cdots$ と合う。）

$a_n=\frac{1}{n^2+n+1}$ は $n\mapsto -1-n$ で不変（$(-1-n{)}^2+(-1-n)+1=n^2+n+1$）なので、${\sum }_{n\in \mathbb{Z}}{a}_n=2{\sum }_{n\ge 0}{a}_n=2S$。

$n^2+n+1=(n-a)(n-b)$、$a=-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}$、$b=\bar{a}$。$a-b=i\sqrt{3}$ より
$\frac{1}{(n-a)(n-b)}=\frac{1}{i\sqrt{3}}\left(\frac{1}{n-a}-\frac{1}{n-b}\right)$。

与えられた展開から ${\sum }_{n\in \mathbb{Z}}\frac{1}{n-z}=-\pi \cot \pi z$（対称和）。よって
$2S=\frac{1}{i\sqrt{3}}\left(-\pi \cot \pi a+\pi \cot \pi b\right)=\frac{\pi }{i\sqrt{3}}(\cot \pi b-\cot \pi a)$。

$\cot (\theta -\frac{\pi }{2})=-\tan \theta$ を使うと、$\cot \pi a=-\tan \left(i\frac{\sqrt{3}\pi }{2}\right)=-i\tanh \frac{\sqrt{3}\pi }{2}$、$\cot \pi b=+i\tanh \frac{\sqrt{3}\pi }{2}$。差は $2i\tanh \frac{\sqrt{3}\pi }{2}$。

$2S=\frac{2\pi }{\sqrt{3}}\tanh \frac{\sqrt{3}\pi }{2}$、すなわち $S=\frac{\pi }{\sqrt{3}}\tanh \frac{\sqrt{3}\pi }{2}$。

検算: $\tanh (2.7207)\approx 0.9914$、$\pi /\sqrt{3}\approx 1.8138$ なので $S\approx 1.798$。直接和は $n=\mathrm{0..9}$ で約 1.700、残り ${\sum }_{n\ge 10}\approx \frac{1}{9.5}\approx 0.095$ を足すと約 1.795 で一致する。