複素解析・リーマン面の問題

方針 分母 $4n^2+1$ を $z^2-n^2$ の形に合わせるため、部分分数展開に純虚数 $z=\frac{i}{2}$ を代入する（$\frac{i}{2}\notin \mathbb{Z}$ なので代入してよい）。

右辺の計算 $z=\frac{i}{2}$ のとき $z^2=-\frac{1}{4}$ なので、
$$\frac{1}{z}=\frac{2}{i}=-2i,\frac{2z}{z^2-n^2}=\frac{i}{-\frac{1}{4}-n^2}=-\frac{4i}{4n^2+1}.$$
よって右辺は
$$-2i-4i\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{4n^2+1}=-2i-4iS.$$

左辺の計算 実数 $y$ に対して、オイラーの公式から
$$\cos (iy)=\frac{e^{-y}+e^y}{2},\sin (iy)=\frac{e^{-y}-e^y}{2i}$$
なので
$$\cot (iy)=\frac{\cos (iy)}{\sin (iy)}=i\cdot \frac{e^y+e^{-y}}{e^{-y}-e^y}=-i\frac{e^y+e^{-y}}{e^y-e^{-y}}.$$
$y=\frac{\pi }{2}$ とし、分子と分母に $e^{\pi /2}$ を掛けると
$$\pi \cot \frac{\pi i}{2}=-i\pi \frac{e^{\pi /2}+e^{-\pi /2}}{e^{\pi /2}-e^{-\pi /2}}=-i\pi \frac{e^{\pi }+1}{e^{\pi }-1}.$$

比較 両辺が等しいので
$$-i\pi \frac{e^{\pi }+1}{e^{\pi }-1}=-2i-4iS.$$
両辺を $-i$ で割ると $\pi \frac{e^{\pi }+1}{e^{\pi }-1}=2+4S$ となり、
$$S=\frac{1}{4}\left(\frac{\pi (e^{\pi }+1)}{e^{\pi }-1}-2\right).$$

（確認: $e^{\pi }\approx 23.1407$ より $\frac{e^{\pi }+1}{e^{\pi }-1}\approx 1.0903$、したがって $S\approx \frac{3.4253-2}{4}\approx 0.3563$。実際に $\frac{1}{5}+\frac{1}{17}+\frac{1}{37}+\cdots$ を足すとこの値に近づく。）

部分分数展開に $z=\frac{i}{2}$ を代入する。$\cot (ix)=-i\coth x$ より左辺は $\pi \cot \frac{\pi i}{2}=-i\pi \coth \frac{\pi }{2}$。右辺は $\frac{1}{z}=-2i$、$\frac{2z}{z^2-n^2}=\frac{i}{-\frac{1}{4}-n^2}=-\frac{i}{n^2+\frac{1}{4}}$。したがって $-i\pi \coth \frac{\pi }{2}=-2i-i{\sum }_{n\ge 1}\frac{1}{n^2+\frac{1}{4}}$、すなわち $\sum \frac{1}{n^2+1/4}=\pi \coth \frac{\pi }{2}-2$。$\frac{1}{4n^2+1}=\frac{1}{4}\cdot \frac{1}{n^2+1/4}$ なので $S=\frac{1}{4}\left(\pi \coth \frac{\pi }{2}-2\right)$。$\coth \frac{\pi }{2}=\frac{e^{\pi }+1}{e^{\pi }-1}$ より $S=\frac{\pi (e^{\pi }+1)}{4(e^{\pi }-1)}-\frac{1}{2}$。検算: 数値は $e^{\pi }\approx 23.1407$ で $S\approx 0.3563$。初項から $0.2+0.0588+0.0270+0.0154+0.0099=0.3111$ に残り約 $0.045$ を加えるとほぼ一致する。