$π cot π z$ の部分分数展開と級数の和

$π cot π z = \frac{1}{z} + \sum_{n \geq 1} \frac{2 z}{z ^{2} - n ^{2}}$ を正弦の無限積の対数微分として導き、有理式を（複素数の極で）部分分数分解して、 $\sum_{n \geq 1} \frac{1}{n ^{2} + a ^{2}}$ や $\sum_{n \geq 1} \frac{n ^{2}}{n ^{4} + n ^{2} + 1}$ のような級数の和を $coth$ ・ $tanh$ を用いて求められる

前提

正弦関数の無限積表示と無限積の値（大学院数学複素解析・リーマン面）
分数関数の積分（部分分数分解）（数学III 積分法）

この技能までの道筋（64 技能）

算数中学高校大学大学院

読み込み中…

右端（太枠）がこの技能です。左へドラッグすると、さらに前の前提をさかのぼれます。技能を押すと、そこまでの道筋が光ります。

一覧で見る（前提が先）

分数のたし算・ひき算（算数計算と数のきまり）
小数の四則計算（算数計算と数のきまり）
正負の数の加法・減法（中学数学数と式）
分数のかけ算・わり算（算数計算と数のきまり）
四則の混じった計算の順序（算数計算と数のきまり）
正負の数の乗除・累乗と四則混合（中学数学数と式）
分配法則を使った計算のくふう（算数計算と数のきまり）
文字式の計算（同類項・分配法則）（中学数学数と式）
乗法公式による展開（中学数学数と式）
因数分解（中学数学数と式）
3 次式までの展開と因数分解（数学I 数と式）
微分係数と導関数の定義（数学II 微分法と積分法）
多項式の微分（数学II 微分法と積分法）
小数と分数のまじった計算（算数計算と数のきまり）
逆算（□ を求める）（算数計算と数のきまり）
1 次方程式の解き方（中学数学方程式）
比例・反比例の式とグラフ（中学数学関数）
約数の見つけ方（算数整数の性質）
素因数分解と約数の個数（算数整数の性質）
平方根の意味と根号の簡単化（中学数学数と式）
関数 $y = a x^{2}$ の式と変域（中学数学関数）
平方完成と 2 次関数のグラフ（数学I 2次関数）
2 次不等式（数学I 2次関数）
剰余の定理・因数定理と高次方程式（数学II 複素数と方程式）
増減表と極値（数学II 微分法と積分法）
等間隔にならんだ数の和（算数計算と数のきまり）
等差・等比数列の和と Σ （数学B 数列）
数列の極限（数学III 極限）
関数の極限（数学III 極限）
関数の連続性と中間値の定理（数学III 極限）
平均値の定理（数学III 微分法）
積と商の微分（数学III 微分法）
第 2 次導関数とグラフの凹凸（数学III 微分法）
合成関数の微分（数学III 微分法）
円の周の長さと面積（算数平面図形）
おうぎ形の弧の長さと面積（算数平面図形）
弧の長さからおうぎ形の中心角と面積を求める（中学数学平面図形）
三角形・四角形の面積（算数平面図形）
三平方の定理（中学数学相似と三平方の定理）
特別な直角三角形の辺の比（中学数学相似と三平方の定理）
弧度法と単位円による三角関数（数学II 三角関数）
$sin x / x$ の極限（数学III 極限）
加法定理と 2 倍角・半角・積和の公式（数学II 三角関数）
三角関数の導関数（数学III 微分法）
根号の乗除と加減（中学数学数と式）
指数の拡張と指数関数（数学II 指数関数と対数関数）
対数の定義と性質（数学II 指数関数と対数関数）
自然対数の底 $e$ （数学III 極限）
指数関数・対数関数の導関数（数学III 微分法）
増減・凹凸・漸近線とグラフ（数学III 微分法）
テイラー展開（大学数学微分積分）
無限等比級数と無限級数（数学III 極限）
べき級数と収束半径（大学数学微分積分）
複素数と 2 次方程式の虚数解（数学II 複素数と方程式）
オイラーの公式（大学数学微分積分）
極形式と積・商（数学C 複素数平面）
複素数の指数関数・対数関数と分枝（大学数学複素関数）
2 変数の対称式（数学I 数と式）
2 次方程式の解と係数の関係（数学II 複素数と方程式）
2 数を解とする 2 次方程式と複素数の範囲の因数分解（数学II 複素数と方程式）
正弦関数の無限積表示と無限積の値（大学院数学複素解析・リーマン面）
多項式の不定積分（数学II 微分法と積分法）
基本的な関数の不定積分（数学III 積分法）
分数関数の積分（部分分数分解）（数学III 積分法）

説明

整数でないすべての複素数 $z$ について
$π cot π z = \frac{1}{z} + n = 1 \sum \infty \frac{2 z}{z ^{2} - n ^{2}}$
が成り立ちます。これを変形した $n \geq 1 \sum \frac{1}{n ^{2} - z ^{2}} = \frac{1 - π z cot π z}{2 z ^{2}}$ に、級数の一般項を部分分数に分けて現れる（複素数の）値 $z$ を代入すると、 $\sum_{n \geq 1} \frac{1}{n ^{2} + a ^{2}}$ のような級数の和を、 $coth x = \frac{cosh x}{sinh x} = \frac{e ^{x} + e ^{- x}}{e ^{x} - e ^{- x}}$ や $tanh x = \frac{e ^{x} - e ^{- x}}{e ^{x} + e ^{- x}}$ を使った閉じた形で求められます。

なぜそうしてよいのか

出発点は正弦の無限積 $sin π z = π z \prod_{n \geq 1} (1 - \frac{z ^{2}}{n ^{2}})$ です。積の微分を関数で割った「対数微分」 $f^{'} / f$ は、積の法則から $(f g)^{'} / (f g) = f^{'} / f + g^{'} / g$ を満たし、積を和に変えます（対数の分枝を選ぶ必要はありません）。有限個の積 $π z \prod_{n = 1}^{N} (1 - \frac{z ^{2}}{n ^{2}})$ の対数微分は
$\frac{1}{z} + n = 1 \sum N \frac{- 2 z / n ^{2}}{1 - z ^{2} / n ^{2}} = \frac{1}{z} + n = 1 \sum N \frac{2 z}{z ^{2} - n ^{2}}$
で、 $N \to \infty$ とすると左辺の部分積は $sin π z$ に（その導関数も $π cos π z$ に）収束することが知られているので、 $\frac{π cos π z}{sin π z} = π cot π z$ が上の級数に等しくなります。 $z$ が整数でなければ分母は $0$ にならず、級数は $\frac{2 z}{z ^{2} - n ^{2}}$ が $n^{2}$ に反比例して小さくなるので収束します。

この式を $\sum_{n \geq 1} \frac{1}{n ^{2} - z ^{2}}$ について解くと、 $π cot π z - \frac{1}{z} = - 2 z \sum_{n \geq 1} \frac{1}{n ^{2} - z ^{2}}$ から
$n = 1 \sum \infty \frac{1}{n ^{2} - z ^{2}} = \frac{1 - π z cot π z}{2 z ^{2}} (z \neq = 0, z は整数でない)$
が得られます。虚数を代入するときは、オイラーの公式から $cos (i y) = cosh y = \frac{e ^{y} + e ^{- y}}{2}$ 、 $sin (i y) = i sinh y$ なので $cot (i y) = - i coth y$ です。 $z = ia (a > 0)$ とおくと $π z cot π z = π ia \cdot (- i coth π a) = π a coth π a$ 、 $z^{2} = - a^{2}$ となり
$n = 1 \sum \infty \frac{1}{n ^{2} + a ^{2}} = \frac{π a coth π a - 1}{2 a ^{2}} .$

一般の有理式 $R (n)$ の和は、 $R (n)$ を（複素数の極で）部分分数に分け、 $\frac{1}{n ^{2} - z _{k}^{2}}$ の形の項の 1 次結合にまとめてから、各項に上の公式を使います。ここで $\frac{1}{n - α}$ のような 1 次の項だけを別々に足すと発散するので、 $\pm z$ の極を組にして $\frac{1}{n ^{2} - z ^{2}} = \frac{1}{2 z} (\frac{1}{n - z} - \frac{1}{n + z})$ の形で扱うのが要点です。

手順

級数の一般項 $R (n)$ の分母を（必要なら複素数の範囲で）因数分解し、 $R (n) = \sum_{k} \frac{c _{k}}{n ^{2} - z _{k}^{2}}$ の形に部分分数分解する（例: $\frac{1}{4 n ^{2} + 1} = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{n ^{2} - ( i /2 ) ^{2}}$ ）
各 $z_{k}$ が $0$ でも整数でもないことを確かめ、公式 $n \geq 1 \sum \frac{1}{n ^{2} - z ^{2}} = \frac{1 - π z cot π z}{2 z ^{2}}$ を各項に使う
$z_{k} = ia$ のような純虚数なら $cot (i y) = - i coth y$ で書き直し、 $n \geq 1 \sum \frac{1}{n ^{2} + a ^{2}} = \frac{π a coth π a - 1}{2 a ^{2}}$ を使う
係数 $c_{k}$ を掛けて足し合わせ、 $coth$ ・ $tanh$ （または $e^{x}$ ）で整理する

例題

級数 $n = 1 \sum \infty \frac{1}{4 n ^{2} + 1}$ の和を求めよ。

例題の解答

【手順 1】 $\frac{1}{4 n ^{2} + 1} = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{n ^{2} + \frac{1}{4}} = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{n ^{2} - ( \frac{i}{2} ) ^{2}}$ 。よって $c = \frac{1}{4}$ 、 $z = \frac{i}{2}$ の 1 項だけになる。

【手順 2】 $z = \frac{i}{2}$ は $0$ でも整数でもないので公式が使える。

【手順 3】 $z = ia$ で $a = \frac{1}{2}$ の場合だから
$n = 1 \sum \infty \frac{1}{n ^{2} + \frac{1}{4}} = \frac{π \cdot \frac{1}{2} coth \frac{π}{2} - 1}{2 \cdot \frac{1}{4}} = π coth \frac{π}{2} - 2.$
（確かめ： $π z cot π z = \frac{π i}{2} cot \frac{π i}{2} = \frac{π i}{2} \cdot (- i coth \frac{π}{2}) = \frac{π}{2} coth \frac{π}{2}$ 、 $2 z^{2} = - \frac{1}{2}$ で、 $\frac{1 - \frac{π}{2} c o t h \frac{π}{2}}{- \frac{1}{2}}$ と一致する。）

【手順 4】係数 $\frac{1}{4}$ を掛けて
$n = 1 \sum \infty \frac{1}{4 n ^{2} + 1} = \frac{1}{4} (π coth \frac{π}{2} - 2) = \frac{π}{4} coth \frac{π}{2} - \frac{1}{2} .$
$coth \frac{π}{2} = \frac{e ^{π} + 1}{e ^{π} - 1}$ なので、 $\frac{π ( e ^{π} + 1 )}{4 ( e ^{π} - 1 )} - \frac{1}{2}$ とも書ける（数値は約 $0.356$ で、 $\frac{1}{5} + \frac{1}{17} + \frac{1}{37} + \dots$ と合う）。

答え: $\frac{π}{4} coth \frac{π}{2} - \frac{1}{2}$

よくある誤り

$π cot π z$ の展開の $n = 0$ に当たる項 $\frac{1}{z}$ を落とし、 $\sum_{n \geq 1} \frac{1}{n ^{2} - z ^{2}} = - \frac{π c o t π z}{2 z}$ としてしまう誤り。正しくは $\sum_{n \geq 1} \frac{1}{n ^{2} - z ^{2}} = \frac{1 - π z c o t π z}{2 z ^{2}}$ 。
$cot (i y)$ を $coth y$ や $i coth y$ としてしまう誤り。正しくは $cot (i y) = \frac{c o s h y}{i s i n h y} = - i coth y$ で、 $\sum_{n \geq 1} \frac{1}{n ^{2} + a ^{2}} = \frac{π a c o t h π a - 1}{2 a ^{2}}$ は正の値になる。
部分分数分解を 1 次の項まで進め、 $\sum_{n \geq 1} \frac{1}{n - z}$ と $\sum_{n \geq 1} \frac{1}{n + z}$ を別々に計算してしまう誤り。これらはそれぞれ発散する。正しくは $\frac{1}{2 z} (\frac{1}{n - z} - \frac{1}{n + z}) = \frac{1}{n ^{2} - z ^{2}}$ と組にしたまま足す。
$n \geq 1$ の和と全整数 $n$ にわたる和を混同する誤り。 $\sum_{n = - \infty}^{\infty} \frac{1}{n ^{2} + a ^{2}} = \frac{π}{a} coth π a$ であり、 $n \geq 1$ の和はこれから $n = 0$ の項 $\frac{1}{a ^{2}}$ を引いて 2 で割った $\frac{π a c o t h π a - 1}{2 a ^{2}}$ 。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（大学院の講義の例題レベル）
$Z$ に属さないすべての複素数 $z$ に対して成り立つ部分分数展開
$π cot π z = \frac{1}{z} + n = 1 \sum \infty \frac{2 z}{z ^{2} - n ^{2}}$
を用いてよいものとする。次の無限級数の和 $S$ を求めよ。
$S = n = 1 \sum \infty \frac{1}{4 n ^{2} + 1}$
ただし $n$ は正の整数を動く。答えは双曲線関数を使わず、 $π$ と $e^{π}$ （ $e$ は自然対数の底）を用いて表せ。

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

リーマンゼータ関数の特殊値（大学院数学解析的整数論）

πcotπz の部分分数展開と級数の和

前提

説明