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複素解析・リーマン面の問題

難易度 3大学院入試の専門科目の標準レベル証明問題大学院数学複素解析・リーマン面

正弦関数の無限積表示
$sin (π z) = π z n = 1 \prod \infty (1 - \frac{z ^{2}}{n ^{2}}) (z \in C)$
において、部分積 $P_{N} (z) = π z \prod_{n = 1}^{N} (1 - \frac{z ^{2}}{n ^{2}})$ が $N \to \infty$ のとき $C$ 上で広義一様に $sin (π z)$ に収束することは用いてよい。また、正則関数列が領域上で広義一様に収束するとき、その導関数の列も極限関数の導関数に広義一様に収束すること（ワイエルシュトラスの定理）も用いてよい。

これらを用いて、任意の実数 $a > 0$ に対して
$n = 1 \sum \infty \frac{1}{n ^{2} + a ^{2}} = \frac{π a coth ( π a ) - 1}{2 a ^{2}}$
が成り立つことを証明せよ。ここで $coth x = \frac{cosh x}{sinh x}$ である。

この問題で使うもの

$π cot π z$ の部分分数展開と級数の和（説明と入口の問題）
正弦関数の無限積表示と無限積の値（説明と入口の問題）
積と商の微分（説明と入口の問題）
オイラーの公式（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（65 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

$sin (π z)$ の無限積を対数微分して $π cot (π z)$ の部分分数展開を作り、虚数の点を代入する。

ヒント 2

有限積の対数微分 $\frac{P _{N}^{'}}{P _{N}} = \frac{1}{z} + n = 1 \sum N \frac{2 z}{z ^{2} - n ^{2}}$ と、 $P_{N}^{'} \to π cos (π z)$ （ワイエルシュトラスの定理）を使う。

ヒント 3

$z \in / Z$ では $sin (π z) \neq = 0$ なので $\frac{P _{N}^{'} ( z )}{P _{N} ( z )} \to π cot (π z)$ 。これで $π cot (π z) = \frac{1}{z} + n \geq 1 \sum \frac{2 z}{z ^{2} - n ^{2}}$ が得られる。次に $cot (iπ a)$ を $coth (π a)$ で表す。

採点の観点と模範解答

自分で証明を書いてから、採点の観点で見比べてください。

採点の観点を見る

有限部分積 $P_{N}$ の対数微分を計算し、 $\frac{1}{z} + \sum_{n = 1}^{N} \frac{2 z}{z ^{2} - n ^{2}}$ を得ている。 $z \in / Z$ で $P_{N} (z) \neq = 0$ であることにも触れている（3 点）
ワイエルシュトラスの定理で $P_{N}^{'} \to π cos (π z)$ とし、 $sin (π z) \neq = 0$ を確認したうえで商の極限をとって $π cot (π z)$ の部分分数展開を導いている（3 点）
$cos (i y) = cosh y$ , $sin (i y) = i sinh y$ から $π cot (iπ a) = - iπ coth (π a)$ を正しく計算している（2 点）
$z = ia$ （整数でないこと）を代入し、級数の収束を保ったまま整理して与えられた等式に到達している（2 点）

結果を記録する（このブラウザにだけ保存されます）:

模範解答を読む

Step 1（部分積の対数微分）. $N$ を正の整数とし、 $q_{n} (z) = 1 - \frac{z ^{2}}{n ^{2}}$ とおくと $P_{N} (z) = π z q_{1} (z) \dots q_{N} (z)$ である。 $z \in C ∖ Z$ では $z \neq = 0$ かつ $q_{n} (z) = 0 ⟺ z = \pm n$ より各因子は $0$ でないので $P_{N} (z) \neq = 0$ 。積の微分法則より
$P_{N}^{'} (z) = P_{N} (z) (\frac{1}{z} + n = 1 \sum N \frac{q _{n}^{'} ( z )}{q _{n} ( z )})$
であり、 $q_{n}^{'} (z) = - \frac{2 z}{n ^{2}}$ だから
$\frac{q _{n}^{'} ( z )}{q _{n} ( z )} = \frac{- 2 z / n ^{2}}{1 - z ^{2} / n ^{2}} = \frac{- 2 z}{n ^{2} - z ^{2}} = \frac{2 z}{z ^{2} - n ^{2}} .$
よって $z \in C ∖ Z$ で
$\frac{P _{N}^{'} ( z )}{P _{N} ( z )} = \frac{1}{z} + n = 1 \sum N \frac{2 z}{z ^{2} - n ^{2}} . (1)$

Step 2（極限をとる）. 仮定より $P_{N} \to sin (π z)$ は $C$ 上で広義一様収束であり、 $P_{N}$ はすべて整関数なので、ワイエルシュトラスの定理より $P_{N}^{'} (z) \to π cos (π z)$ （広義一様、特に各点で）。 $z \in C ∖ Z$ を固定すると、 $sin (π z) \neq = 0$ （ $sin (π z)$ の零点は整数だけ）なので、各点収束 $P_{N} (z) \to sin (π z)$ , $P_{N}^{'} (z) \to π cos (π z)$ から
$\frac{P _{N}^{'} ( z )}{P _{N} ( z )} \to \frac{π cos ( π z )}{sin ( π z )} = π cot (π z) (N \to \infty) .$
したがって $(1)$ の右辺も収束し、 $z \in C ∖ Z$ で
$π cot (π z) = \frac{1}{z} + n = 1 \sum \infty \frac{2 z}{z ^{2} - n ^{2}} (2)$
が成り立つ（右辺の級数は部分和の極限として収束する）。

Step 3（ $z = ia$ の代入）. $a > 0$ とする。 $ia$ は実数でないので $ia \in / Z$ であり、 $(2)$ に $z = ia$ を代入できる。
$cos (i y) = \frac{e ^{- y} + e ^{y}}{2} = cosh y$ , $sin (i y) = \frac{e ^{- y} - e ^{y}}{2 i} = i sinh y$ より
$π cot (iπ a) = π \frac{cosh ( π a )}{i sinh ( π a )} = - iπ coth (π a) .$
右辺は
$\frac{1}{ia} + n = 1 \sum \infty \frac{2 ia}{- a ^{2} - n ^{2}} = - \frac{i}{a} - 2 ia n = 1 \sum \infty \frac{1}{n ^{2} + a ^{2}}$
（級数 $\sum \frac{2 ia}{- a ^{2} - n ^{2}}$ が収束するので、定数倍 $- 2 ia$ をくくり出した級数 $\sum \frac{1}{n ^{2} + a ^{2}}$ も収束し、この等式が成り立つ）。よって
$- iπ coth (π a) = - \frac{i}{a} - 2 ia n = 1 \sum \infty \frac{1}{n ^{2} + a ^{2}} .$
両辺を $- i$ で割ると
$π coth (π a) = \frac{1}{a} + 2 a n = 1 \sum \infty \frac{1}{n ^{2} + a ^{2}} .$

Step 4（結論）. $a > 0$ なので $2 a \neq = 0$ で割って整理すると
$n = 1 \sum \infty \frac{1}{n ^{2} + a ^{2}} = \frac{1}{2 a} (π coth (π a) - \frac{1}{a}) = \frac{π a coth ( π a ) - 1}{2 a ^{2}} .$
以上で、任意の $a > 0$ に対して求める等式が示された。 $■$

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