2 数を解とする 2 次方程式と複素数の範囲の因数分解

2 数 $α, β$ を解とする 2 次方程式 $x^{2} - (α + β) x + α β = 0$ を作り、 $a x^{2} + b x + c = a (x - α) (x - β)$ を使って 2 次式を複素数の範囲で因数分解できる

前提

2 次方程式の解と係数の関係（数学II 複素数と方程式）

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算数中学高校大学大学院

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2 次方程式の解と係数の関係（数学II 複素数と方程式）

説明

2 つの数 $α, β$ が与えられたとき、それらを解にもつ 2 次方程式を、和 $α + β$ と積 $α β$ だけからすぐに作れるようになります。また、2 次方程式の解を求めれば、実数の範囲では因数分解できない $x^{2} - 2 x + 2$ のような 2 次式も、複素数の範囲で 1 次式の積に分解できます。解を利用して式を作るとき、または因数分解するときに使います。

なぜそうしてよいのか

$a x^{2} + b x + c = 0$ （ $a \neq = 0$ ）の 2 解を $α, β$ とします。解と係数の関係より $\frac{b}{a} = - (α + β)$ 、 $\frac{c}{a} = α β$ です。そこで $a$ をくくり出して書き換えると $a x^{2} + b x + c = a (x^{2} + \frac{b}{a} x + \frac{c}{a}) = a {x^{2} - (α + β) x + α β} = a (x - α) (x - β)$ となります。最後の変形は展開 $(x - α) (x - β) = x^{2} - (α + β) x + α β$ を逆向きに使ったものです。

逆に、どんな 2 数 $α, β$ でも $x^{2} - (α + β) x + α β = (x - α) (x - β)$ なので、方程式 $x^{2} - (α + β) x + α β = 0$ の解はちょうど $x = α, β$ です。これが「2 数を解とする 2 次方程式」の作り方です（両辺を 0 でない数 $k$ 倍した方程式も同じ解をもちます）。

複素数の範囲では、2 次方程式は判別式の符号によらず解の公式で必ず 2 つの解（重解なら同じ数 2 つ）をもちます。したがって、どんな 2 次式も複素数の範囲なら必ず $a (x - α) (x - β)$ の形に因数分解できます。

手順

【因数分解】2 次式 $a x^{2} + b x + c$ に対して、方程式 $a x^{2} + b x + c = 0$ を解の公式などで解き、2 解 $α, β$ を求める（虚数解でもよい）。
求めた解を使って $a x^{2} + b x + c = a (x - α) (x - β)$ と書く。 $x^{2}$ の係数 $a$ を前に付けるのを忘れない。
$x - α$ の $α$ に $1 + i$ などを代入するときは括弧を付けて $x - (1 + i) = x - 1 - i$ のように符号を整える。
【方程式を作る】2 数 $α, β$ が与えられたら、和 $α + β$ と積 $α β$ を計算し、 $x^{2} - (α + β) x + α β = 0$ に代入する。

例題

2 次式 $3 x^{2} - 6 x + 6$ を複素数の範囲で因数分解せよ。

例題の解答

手順 1：方程式 $3 x^{2} - 6 x + 6 = 0$ を解く。両辺を 3 で割ると $x^{2} - 2 x + 2 = 0$ 。解の公式より $x = \frac{2 \pm 4 - 8}{2} = \frac{2 \pm 2 i}{2} = 1 \pm i$ よって 2 解は $α = 1 + i, β = 1 - i$ 。

手順 2： $x^{2}$ の係数は $3$ なので $3 x^{2} - 6 x + 6 = 3 {x - (1 + i)} {x - (1 - i)}$

手順 3：括弧を外して符号を整えると $3 x^{2} - 6 x + 6 = 3 (x - 1 - i) (x - 1 + i)$

（確かめ： $(x - 1 - i) (x - 1 + i) = (x - 1)^{2} - i^{2} = x^{2} - 2 x + 2$ で、3 倍すると元の式に戻る。）

答え: $3 (x - 1 - i) (x - 1 + i)$

よくある誤り

$x^{2}$ の係数を落としてしまう誤り。 $3 x^{2} - 6 x + 6 = (x - 1 - i) (x - 1 + i)$ とすると展開して $x^{2} - 2 x + 2$ になり元の式と違う。正しくは $3 (x - 1 - i) (x - 1 + i)$ 。
解の符号をそのまま使って $(x + α) (x + β)$ としてしまう誤り。解が $1 \pm i$ なのに $(x + 1 + i) (x + 1 - i)$ と書くのは間違い。正しくは $(x - α) (x - β) = (x - 1 - i) (x - 1 + i)$ 。
括弧を付けずに代入して符号を誤る誤り。 $β = 1 - i$ のとき $x - 1 - i$ と書いてしまうのは間違い。正しくは $x - (1 - i) = x - 1 + i$ 。
方程式を作るときに $x^{2} + (α + β) x + α β = 0$ としてしまう誤り。例えば $2, 3$ を解とする方程式を $x^{2} + 5 x + 6 = 0$ とすると解は $- 2, - 3$ になる。正しくは $x^{2} - 5 x + 6 = 0$ 。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

正弦関数の無限積表示と無限積の値（大学院数学複素解析・リーマン面）