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複素数と方程式の問題

難易度 1教科書の例題レベル数学II 複素数と方程式

$i$ を虚数単位とする。 $2$ 数 $2 + 3 i, 2 - 3 i$ を解とし、 $x^{2}$ の係数が $1$ である $2$ 次方程式を $x^{2} + p x + q = 0$ と表す。実数 $p, q$ の値を求め、組 $(p, q)$ の形で答えよ。

この問題で使うもの

2 数を解とする 2 次方程式と複素数の範囲の因数分解（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（24 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

「 $2$ 数 $α, β$ を解とする $2$ 次方程式は $x^{2} - (α + β) x + α β = 0$ 」という技能を使います。

ヒント 2

まず和 $α + β$ と積 $α β$ を計算しましょう。積は $(a + bi) (a - bi) = a^{2} + b^{2}$ を使うと速く計算できます。

ヒント 3

和は $(2 + 3 i) + (2 - 3 i) = 4$ です。積 $(2 + 3 i) (2 - 3 i)$ を計算し、 $x^{2} - (和) x + (積) = 0$ に代入しましょう。

答えと解説

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(- 4, 7)

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解説を読む

$2$ 数 $α, β$ を解とし、 $x^{2}$ の係数が $1$ である $2$ 次方程式は
$x^{2} - (α + β) x + α β = 0$
である。そこで、 $α = 2 + 3 i, β = 2 - 3 i$ として、和と積を計算する。

和：
$α + β = (2 + 3 i) + (2 - 3 i) = 4$

積：
$α β = (2 + 3 i) (2 - 3 i) = 2^{2} - (3 i)^{2} = 4 - 3 i^{2} = 4 + 3 = 7$

したがって、求める $2$ 次方程式は
$x^{2} - 4 x + 7 = 0$
である。これを $x^{2} + p x + q = 0$ と比べて、 $p = - 4, q = 7$ となる。

（確かめ） $x^{2} - 4 x + 7 = 0$ を解の公式で解くと $x = 2 \pm 4 - 7 = 2 \pm 3 i$ となり、確かに与えられた $2$ 数が解である。また、このことから $x^{2} - 4 x + 7 = (x - 2 - 3 i) (x - 2 + 3 i)$ と複素数の範囲で因数分解できる。

答え： $(p, q) = (- 4, 7)$

別解

解と係数の関係より、2解の和は $(2 + 3 i) + (2 - 3 i) = 4$ 、積は $(2 + 3 i) (2 - 3 i) = 4 - 3 i^{2} = 4 + 3 = 7$ である。
$x^{2} + p x + q = 0$ では、和が $- p$ 、積が $q$ なので、 $- p = 4$ より $p = - 4$ 、 $q = 7$ 。
検算： $x^{2} - 4 x + 7 = 0$ を解の公式で解くと $x = \frac{4 \pm 16 - 28}{2} = 2 \pm 3 i$ となり、与えられた2数と一致する。

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