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複素数と方程式の問題

難易度 1教科書の例題レベル数学II 複素数と方程式

$x, y$ は実数とし、 $i$ は虚数単位とする。等式
$(2 + i) x + (1 - 3 i) y = 8 - 3 i$
が成り立つとき、 $x, y$ の値を求め、組 $(x, y)$ の形で答えよ。

この問題で使うもの

複素数の相等（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（21 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

複素数の相等「 $a, b, c, d$ が実数のとき $a + bi = c + d i ⟺ a = c, b = d$ 」を使います。そのために、左辺を $a + bi$ の形に整理しましょう。

ヒント 2

左辺を展開すると $(2 x + y) + (x - 3 y) i$ になります。 $x, y$ は実数なので、 $2 x + y$ が実部、 $x - 3 y$ が虚部です。

ヒント 3

実部と虚部を比べると、連立方程式 $2 x + y = 8, x - 3 y = - 3$ が得られます。これを解きましょう。

答えと解説

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(3, 2)

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解説を読む

方針　左辺を「実部 $+$ 虚部 $i$ 」の形 $a + bi$ （ $a, b$ は実数）に整理し、複素数の相等
$a + bi = c + d i ⟺ a = c, b = d (a, b, c, d は実数)$
を使います。

手順1：左辺を展開して整理する
$(2 + i) x + (1 - 3 i) y = 2 x + x i + y - 3 y i = (2 x + y) + (x - 3 y) i$

手順2：実部・虚部が実数であることを確認する
$x, y$ は実数なので、 $2 x + y$ と $x - 3 y$ はどちらも実数です。右辺 $8 - 3 i$ の実部は $8$ 、虚部は $- 3$ で、これらも実数です。

手順3：複素数の相等を使う
$(2 x + y) + (x - 3 y) i = 8 - 3 i$ より、実部どうし・虚部どうしが等しいので
${2 x + y = 8 x - 3 y = - 3 (1) (2)$

手順4：連立方程式を解く
$(2)$ より $x = 3 y - 3$ 。これを $(1)$ に代入すると
$2 (3 y - 3) + y = 8 ⟹ 7 y = 14 ⟹ y = 2$
よって $x = 3 \cdot 2 - 3 = 3$ 。

確かめ　 $(2 + i) \cdot 3 + (1 - 3 i) \cdot 2 = 6 + 3 i + 2 - 6 i = 8 - 3 i$ となり、等式が成り立ちます。

したがって $(x, y) = (3, 2)$ です。

別解

左辺を実部と虚部に分けると $(2 x + y) + (x - 3 y) i = 8 - 3 i$ となる。 $x, y$ は実数なので、実部と虚部がそれぞれ等しい。
$2 x + y = 8$ …①
$x - 3 y = - 3$ …②
①×3 + ② より $7 x = 21$ なので $x = 3$ 。
①に代入して $y = 8 - 6 = 2$ 。
検算: $(2 + i) \cdot 3 + (1 - 3 i) \cdot 2 = 6 + 3 i + 2 - 6 i = 8 - 3 i$ となり、右辺と一致する。
よって $(x, y) = (3, 2)$ 。

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