複素数と方程式の問題

各項の分母を実数にする。分母と共役な複素数を分母・分子に掛けると
$$\frac{x}{1+i}=\frac{x(1-i)}{(1+i)(1-i)}=\frac{x(1-i)}{2}=\frac{x}{2}-\frac{x}{2}i$$
$$\frac{y}{1-2i}=\frac{y(1+2i)}{(1-2i)(1+2i)}=\frac{y(1+2i)}{5}=\frac{y}{5}+\frac{2y}{5}i$$
$$\frac{5}{3+i}=\frac{5(3-i)}{(3+i)(3-i)}=\frac{5(3-i)}{10}=\frac{3}{2}-\frac{1}{2}i$$
となる。よって与えられた等式は
$$\left(\frac{x}{2}+\frac{y}{5}\right)+\left(-\frac{x}{2}+\frac{2y}{5}\right)i=\frac{3}{2}-\frac{1}{2}i$$
となる。$x,y$ は実数なので、$\frac{x}{2}+\frac{y}{5}$ と $-\frac{x}{2}+\frac{2y}{5}$ も実数である。複素数の相等により
$$\frac{x}{2}+\frac{y}{5}=\frac{3}{2}(1)$$
$$-\frac{x}{2}+\frac{2y}{5}=-\frac{1}{2}(2)$$
が成り立つ。

$(1)+(2)$ より $\frac{3y}{5}=1$ なので、$y=\frac{5}{3}$ である。

これを $(1)$ に代入すると $\frac{x}{2}=\frac{3}{2}-\frac{1}{3}=\frac{7}{6}$ なので、$x=\frac{7}{3}$ である。

(検算) $(2)$ の左辺に代入すると $-\frac{7}{6}+\frac{2}{3}=-\frac{7}{6}+\frac{4}{6}=-\frac{1}{2}$ となり、$(2)$ を満たす。

したがって $(x,y)=\left(\frac{7}{3},\frac{5}{3}\right)$ である。

各項を有理化する。$\frac{x}{1+i}=\frac{x(1-i)}{2}$、$\frac{y}{1-2i}=\frac{y(1+2i)}{5}$、$\frac{5}{3+i}=\frac{5(3-i)}{10}=\frac{3-i}{2}$。
実部: $\frac{x}{2}+\frac{y}{5}=\frac{3}{2}$ より $5x+2y=15$。
虚部: $-\frac{x}{2}+\frac{2y}{5}=-\frac{1}{2}$ より $-5x+4y=-5$。
2式を足すと $6y=10$ なので $y=\frac{5}{3}$。
これを $5x+2y=15$ に代入すると $5x=15-\frac{10}{3}=\frac{35}{3}$ なので $x=\frac{7}{3}$。
検算: 実部 $\frac{7}{6}+\frac{1}{3}=\frac{3}{2}$ で成立。虚部 $-\frac{7}{6}+\frac{2}{3}=-\frac{1}{2}$ で成立。
答えは $(x,y)=\left(\frac{7}{3},\frac{5}{3}\right)$。