複素数と方程式の問題

方針 $z=x+yi$（$x,y$ は実数）とおき、左辺を「実数 $+$ 実数 $\times i$」の形に整理して、複素数の相等を使います。

手順1：$z$ と $\bar{z}$ を $x,y$ で表す

$z=x+yi$ のとき $\bar{z}=x-yi$ です。

手順2：左辺を計算する

$$(1+i)(x+yi)=x+yi+xi+y{i}^2=x+yi+xi-y=(x-y)+(x+y)i$$

これに $\bar{z}=x-yi$ を加えると
$$(1+i)z+\bar{z}=(x-y)+(x+y)i+x-yi=(2x-y)+xi$$

手順3：複素数の相等を使う

等式は
$$(2x-y)+xi=3+2i$$
となります。$x,y$ は実数なので $2x-y$ と $x$ も実数です。実部どうし、虚部どうしが等しいので
$$2x-y=3,x=2$$

手順4：連立方程式を解く

$x=2$ を $2x-y=3$ に代入すると $4-y=3$ より $y=1$ です。

よって $z=2+i$ となります。

確かめ

$(1+i)(2+i)=2+i+2i+i^2=1+3i$ であり、$\bar{z}=2-i$ なので
$(1+3i)+(2-i)=3+2i$ となり、等式を満たしています。

答え：$z=2+i$

$z=x+yi$（$x,y$ は実数）とおくと $\bar{z}=x-yi$ である。
$(1+i)(x+yi)=x+yi+xi+y{i}^2=(x-y)+(x+y)i$ なので、
$(1+i)z+\bar{z}=(x-y)+(x+y)i+x-yi=(2x-y)+xi$。
これが $3+2i$ に等しいので、実部・虚部を比べて $2x-y=3$, $x=2$。
よって $y=2x-3=1$ となり、$z=2+i$。
検算：$(1+i)(2+i)=2+i+2i+i^2=1+3i$。これに $\bar{z}=2-i$ を加えると $3+2i$ となり、等式を満たす。