複素数と方程式の問題

$z=x+yi$（$x,y$ は実数）とおく。このとき $\bar{z}=x-yi$ である。

左辺を計算すると
$$2z=2x+2yi$$
$$i\bar{z}=i(x-yi)=xi-y{i}^2=y+xi$$
より
$$2z+i\bar{z}=(2x+y)+(x+2y)i$$
となる。

よって、与えられた等式は
$$(2x+y)+(x+2y)i=5+4i$$
となる。$2x+y,x+2y$ は実数なので、複素数の相等（実部どうし・虚部どうしがそれぞれ等しい）により
$$2x+y=5(1)$$
$$x+2y=4(2)$$
が成り立つ。

$(1)\times 2-(2)$ より $3x=6$、よって $x=2$。これを $(1)$ に代入して $y=5-4=1$。

したがって $z=2+i$ である。

（確認）$\bar{z}=2-i$ より $2z+i\bar{z}=(4+2i)+(2i+1)=5+4i$ となり、等式を満たす。

$z=x+yi$（$x,y$ は実数）とおくと、$\bar{z}=x-yi$。
$2z+i\bar{z}=2x+2yi+i(x-yi)=2x+2yi+xi+y=(2x+y)+(2y+x)i$。
これが $5+4i$ に等しいので、実部と虚部を比べて
$2x+y=5$, $x+2y=4$。
1 本目を 2 倍して $4x+2y=10$。2 本目を引くと $3x=6$ より $x=2$。このとき $y=5-4=1$。
よって $z=2+i$。
検算：$\bar{z}=2-i$。$2z=4+2i$、$i\bar{z}=2i-i^2=1+2i$。和は $5+4i$ となり、条件を満たす。