複素数と方程式の問題

$z=x+yi$（$x,y$ は実数）とおくと、$\bar{z}=x-yi$ である。

左辺は
$$z^2=(x+yi{)}^2=x^2-y^2+2xyi$$
右辺は
$$2\bar{z}-1=2(x-yi)-1=(2x-1)-2yi$$
である。

$x^2-y^2,2xy,2x-1,-2y$ はすべて実数である。よって、複素数が等しくなる条件から、実部どうし・虚部どうしを比べて
$$x^2-y^2=2x-1(1)$$
$$2xy=-2y(2)$$
を得る。

$(2)$ より $2y(x+1)=0$ なので、$y=0$ または $x=-1$ である。

(i) $y=0$ のとき

$(1)$ は $x^2=2x-1$ となり、$x^2-2x+1=0$、すなわち $(x-1{)}^2=0$ である。よって $x=1$ となり、$z=1$ を得る。

(ii) $x=-1$ のとき

$(1)$ は $1-y^2=-2-1=-3$ となるので、$y^2=4$、すなわち $y=\pm 2$ である。よって $z=-1\pm 2i$ を得る。

検算

• $z=1$ のとき：$z^2=1$、$2\bar{z}-1=2-1=1$ で等しい。
• $z=-1+2i$ のとき：$z^2=1-4i+4i^2=-3-4i$、$2\bar{z}-1=2(-1-2i)-1=-3-4i$ で等しい。
• $z=-1-2i$ のとき：$z^2=1+4i+4i^2=-3+4i$、$2\bar{z}-1=2(-1+2i)-1=-3+4i$ で等しい。

以上より、求める $z$ は
$$z=1,-1+2i,-1-2i$$
である。

$z=x+yi$（$x,y$ は実数）とおくと、$z^2=x^2-y^2+2xyi$、$2\bar{z}-1=2x-1-2yi$ である。
実部と虚部を比較すると
$x^2-y^2=2x-1$ …①、$2xy=-2y$ …②。
②より $y(x+1)=0$ なので $y=0$ または $x=-1$。
(i) $y=0$ のとき、①より $x^2-2x+1=0$ なので $x=1$。よって $z=1$。
(ii) $x=-1$ のとき、①より $1-y^2=-3$ なので $y^2=4$、$y=\pm 2$。よって $z=-1\pm 2i$。
検算：$z=-1+2i$ のとき $z^2=1-4i-4=-3-4i$。一方 $2\bar{z}-1=2(-1-2i)-1=-3-4i$ で一致する。$z=-1-2i$ はその共役なので同様に成立する。$z=1$ のとき $1=2-1$ で成立する。
答え：$z=1,-1+2i,-1-2i$