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複素数と方程式の問題

難易度 4国公立二次の標準レベル数学II 複素数と方程式

$m$ を実数の定数とする。 $x$ についての 2 次方程式 $x^{2} - m x + 3 m + 5 = 0$ の 2 つの解がともに整数となるような $m$ の値をすべて求めよ。

この問題で使うもの

2 次方程式の解と係数の関係（説明と入口の問題）
3 次式までの展開と因数分解（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（23 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

2 つの解を $α, β$ とおき、解と係数の関係で $m$ を $α, β$ で表してみよう。

ヒント 2

$α + β = m, α β = 3 m + 5$ から $m$ を消去すると $α β = 3 (α + β) + 5$ となる。これを $(α - p) (β - q) = (定数)$ の形に変形する。

ヒント 3

$(α - 3) (β - 3) = 14$ となるので、 $α - 3, β - 3$ は積が $14$ になる整数の組である。正の組と負の組の両方を調べよう。

答えと解説

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- 9, - 3, 15, 21

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解説を読む

2 つの解を $α, β$ （ともに整数、重解のときは $α = β$ ）とする。解と係数の関係より
$α + β = m (1)$
$α β = 3 m + 5 (2)$
である。(1) を (2) に代入して $m$ を消去すると
$α β = 3 (α + β) + 5$
$α β - 3 α - 3 β + 9 = 14$
$(α - 3) (β - 3) = 14$
となる。

$α - 3, β - 3$ は整数で、積が $14$ である。 $14 = 1 \cdot 14 = 2 \cdot 7 = (- 1) \cdot (- 14) = (- 2) \cdot (- 7)$ であり、 $m = α + β$ は $α, β$ を入れかえても変わらないので、 $α - 3 ≦ β - 3$ として次の 4 通りを調べればよい（ $14$ は平方数でないので $α = β$ にはならない）。

$α - 3$	$β - 3$	$(α, β)$	$m = α + β$
$1$	$14$	$(4, 17)$	$21$
$2$	$7$	$(5, 10)$	$15$
$- 14$	$- 1$	$(- 11, 2)$	$- 9$
$- 7$	$- 2$	$(- 4, 1)$	$- 3$

逆に、これらの $m$ に対して実際に解が整数になることを確かめる。
- $m = 21$ : $x^{2} - 21 x + 68 = (x - 4) (x - 17) = 0$
- $m = 15$ : $x^{2} - 15 x + 50 = (x - 5) (x - 10) = 0$
- $m = - 9$ : $x^{2} + 9 x - 22 = (x + 11) (x - 2) = 0$
- $m = - 3$ : $x^{2} + 3 x - 4 = (x + 4) (x - 1) = 0$

いずれも 2 つの解はともに整数である。

したがって $m = - 9, - 3, 15, 21$ である。

別解

2 つの解を整数 $p, q$ とすると、解と係数の関係より $p + q = m, pq = 3 m + 5$ 。
$m$ を消去して $pq = 3 (p + q) + 5$ 、すなわち $pq - 3 p - 3 q = 5$ 、 $(p - 3) (q - 3) = 14$ 。
$p - 3, q - 3$ は整数で積が 14 なので、組 ${p - 3, q - 3}$ は ${1, 14}, {2, 7}, {- 1, - 14}, {- 2, - 7}$ 。
$m = p + q = (p - 3) + (q - 3) + 6$ より、それぞれ $m = 15 + 6 = 21, 9 + 6 = 15, - 15 + 6 = - 9, - 9 + 6 = - 3$ 。
検算: $m = 21$ : $x^{2} - 21 x + 68 = (x - 4) (x - 17)$ 。 $m = 15$ : $x^{2} - 15 x + 50 = (x - 5) (x - 10)$ 。 $m = - 9$ : $x^{2} + 9 x - 22 = (x - 2) (x + 11)$ 。 $m = - 3$ : $x^{2} + 3 x - 4 = (x - 1) (x + 4)$ 。いずれも整数解。

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