複素数と方程式の問題

手順 1：解を代入する

$x=1+i$ が解なので、方程式に代入した式が成り立つ。まず累乗を計算する。
$$(1+i{)}^2=1+2i+i^2=2i,(1+i{)}^3=(1+i{)}^2(1+i)=2i(1+i)=2i+2i^2=-2+2i$$

これらを代入すると
$$(-2+2i)+a\cdot 2i+b(1+i)-6=0$$

手順 2：実部と虚部に分けて整理する

$$(b-8)+(2a+b+2)i=0$$

$a,b$ は実数なので、$b-8$ と $2a+b+2$ も実数である。複素数の相等より
$$b-8=0,2a+b+2=0$$
となる。これを解くと $b=8$、$2a=-10$ より $a=-5$ である。

手順 3：残りの解を求める

方程式は
$$x^3-5x^2+8x-6=0$$
となる。左辺を $P(x)$ とすると
$$P(3)=27-45+24-6=0$$
なので、因数定理より $P(x)$ は $x-3$ で割り切れる。割り算をすると
$$x^3-5x^2+8x-6=(x-3)(x^2-2x+2)$$
となる。

$x^2-2x+2=0$ を解くと $x=1\pm i$ である。したがって、方程式の解は $x=3,1+i,1-i$ で、実数解は $c=3$ である。

別解（共役な複素数も解であることを使う）

係数が実数なので、$1+i$ と共役な $1-i$ も解である。この 2 つを解とする 2 次方程式は、和が $2$、積が $(1+i)(1-i)=2$ なので $x^2-2x+2=0$ である。よって、左辺は $x^2-2x+2$ と $x-c$ の積で表せる。
$$(x^2-2x+2)(x-c)=x^3-(c+2)x^2+(2c+2)x-2c$$

定数項を比べると $-2c=-6$ より $c=3$ である。さらに
$$a=-(c+2)=-5,b=2c+2=8$$
となり、同じ結果が得られる。

以上より $(a,b,c)=(-5,8,3)$ である。

係数が実数なので、$1+i$ が解なら共役な $1-i$ も解である。実数解を $c$ とすると、解と係数の関係より、3つの解の積は $-(-6)=6$ であるから $(1+i)(1-i)c=2c=6$ となり、$c=3$。
解の和は $-a$ なので $(1+i)+(1-i)+3=5=-a$ より $a=-5$。
2つずつの積の和は $b$ なので $(1+i)(1-i)+3(1+i)+3(1-i)=2+6=8=b$ より $b=8$。
検算：$(x^2-2x+2)(x-3)=x^3-3x^2-2x^2+6x+2x-6=x^3-5x^2+8x-6$ となり、与式と一致する。
答え：$(a,b,c)=(-5,8,3)$。