複素数と方程式の問題

手順 1：$x=1+2i$ を代入する準備をする。

$$(1+2i{)}^2=1+4i+4i^2=1+4i-4=-3+4i$$
$$(1+2i{)}^3=(1+2i)(-3+4i)=-3+4i-6i+8i^2=-3-2i-8=-11-2i$$

手順 2：方程式に代入し、実部と虚部に分けて整理する。

$x=1+2i$ は解なので
$$(-11-2i)+a(-3+4i)+11(1+2i)+b=0$$
が成り立つ。実部と虚部に分けて整理すると
$$(-11-3a+11+b)+(-2+4a+22)i=0$$
$$(-3a+b)+(4a+20)i=0$$

手順 3：複素数の相等を使って係数を決める。

$a,b$ は実数なので、$-3a+b$ と $4a+20$ はどちらも実数である。よって
$$-3a+b=0,4a+20=0$$
これを解いて $a=-5,b=-15$。

手順 4：残りの解を求める。

方程式は
$$x^3-5x^2+11x-15=0$$
となる。実数係数の方程式なので、$1+2i$ と共役な $1-2i$ も解である。この 2 つの解の和は $2$、積は $(1+2i)(1-2i)=1+4=5$ なので、左辺は $x^2-2x+5$ で割り切れる。実際に割ると
$$x^3-5x^2+11x-15=(x-3)(x^2-2x+5)$$
となる（$x=3$ を代入すると $27-45+33-15=0$ となり確かめられる）。

$x^2-2x+5=0$ の解は $x=1\pm 2i$ で虚数解なので、実数解は $x-3=0$ から
$$x=3$$

係数が実数なので、$1+2i$ が解なら共役な $1-2i$ も解である。この 2 解の和は $2$、積は $(1+2i)(1-2i)=1+4=5$ なので、$x^2-2x+5$ が因数になる。
実数解を $\alpha$ とおくと、
$$x^3+a{x}^2+11x+b=(x^2-2x+5)(x-\alpha )$$
右辺を展開すると
$$x^3-(\alpha +2)x^2+(5+2\alpha )x-5\alpha$$
$x$ の係数を比べて $5+2\alpha =11$ より $\alpha =3$。
このとき $a=-5$、$b=-15$ である。
検算：$x=3$ を代入すると $27-45+33-15=0$ で成り立つ。
また $(x^2-2x+5)(x-3)=x^3-5x^2+11x-15$ となり、確かに与式と一致する。
実数解は $x=3$。