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複素数と方程式の問題

難易度 1教科書の例題レベル数学II 複素数と方程式

$k$ を整数の定数とする。 $x$ についての 2 次方程式 $x^{2} + 2 k x + k + 6 = 0$ が虚数解をもつような整数 $k$ の値をすべて求めよ。

この問題で使うもの

虚数解をもつ条件（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（22 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

技能「虚数解をもつ条件」を使います。係数が実数の 2 次方程式が虚数解をもつのは、判別式 $D$ が負のときです。

ヒント 2

$x$ の係数が $2 k$ なので $\frac{D}{4} = k^{2} - (k + 6)$ を計算し、 $\frac{D}{4} < 0$ という $k$ の 2 次不等式をつくりましょう。

ヒント 3

$k^{2} - k - 6 < 0$ は $(k + 2) (k - 3) < 0$ と因数分解できます。これを解いて、その範囲に含まれる整数を数え上げましょう。

答えと解説

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{- 1, 0, 1, 2}

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解説を読む

手順 1：虚数解をもつ条件を判別式で表す

係数が実数の 2 次方程式 $a x^{2} + b x + c = 0$ が虚数解をもつのは、判別式 $D = b^{2} - 4 a c$ が $D < 0$ のときである。

この方程式は $x$ の係数が $2 k$ （偶数の形）なので、 $\frac{D}{4} = b^{'2} - a c$ （ $b^{'} = k$ ）を使うと計算が短くなる。

$\frac{D}{4} = k^{2} - 1 \cdot (k + 6) = k^{2} - k - 6$

虚数解をもつ条件は $\frac{D}{4} < 0$ 、すなわち
$k^{2} - k - 6 < 0$

手順 2：2 次不等式を解く

左辺を因数分解すると
$(k + 2) (k - 3) < 0$

$y = (k + 2) (k - 3)$ のグラフは下に凸の放物線で、 $k$ 軸と $k = - 2, 3$ で交わる。 $y < 0$ となるのはグラフが $k$ 軸より下にある部分なので
$- 2 < k < 3$

手順 3：整数の値を求める

$- 2 < k < 3$ を満たす整数は $k = - 1, 0, 1, 2$ である。

（確認：例えば $k = 0$ のとき方程式は $x^{2} + 6 = 0$ となり、 $x = \pm 6 i$ で確かに虚数解である。 $k = 3$ のときは $x^{2} + 6 x + 9 = (x + 3)^{2} = 0$ で実数の重解になり、条件を満たさない。）

よって、求める $k$ の値は $k = - 1, 0, 1, 2$ 。

別解

判別式 $D /4 = k^{2} - (k + 6) = k^{2} - k - 6 = (k - 3) (k + 2)$ 。虚数解をもつ条件は $D < 0$ より $(k - 3) (k + 2) < 0$ 、すなわち $- 2 < k < 3$ 。整数 $k$ は $- 1, 0, 1, 2$ 。
検算： $k = 2$ のとき $x^{2} + 4 x + 8 = 0$ 、 $D /4 = 4 - 8 = - 4 < 0$ で虚数解。 $k = 3$ のとき $x^{2} + 6 x + 9 = 0$ は重解で実数解、 $k = - 2$ のとき $x^{2} - 4 x + 4 = 0$ も重解で実数解なので不適。 $k = - 1$ のとき $x^{2} - 2 x + 5 = 0$ 、 $D /4 = 1 - 5 = - 4 < 0$ で適する。

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