複素数と方程式の問題

$x=2-i$ を方程式に代入する。まず $(2-i)$ の累乗を計算する。
$$(2-i{)}^2=4-4i+i^2=3-4i$$
$$(2-i{)}^3=(3-4i)(2-i)=6-3i-8i+4i^2=2-11i$$
よって、
$$(2-11i)+a(3-4i)+b(2-i)-15=0$$
実部と虚部に分けて整理すると
$$(3a+2b-13)+(-4a-b-11)i=0$$
$a,b$ は実数なので、$3a+2b-13$ と $-4a-b-11$ はともに実数である。したがって
$$3a+2b-13=0,-4a-b-11=0$$
2 つ目の式から $b=-4a-11$。これを 1 つ目の式に代入すると
$$3a+2(-4a-11)-13=0⟺-5a-35=0⟺a=-7$$
よって $b=-4\cdot (-7)-11=17$。

(確認) 係数が実数なので共役な $2+i$ も解である。$2\pm i$ を解とする 2 次方程式は、和 $4$、積 $5$ より $x^2-4x+5=0$。実際
$$x^3-7x^2+17x-15=(x^2-4x+5)(x-3)$$
となり、残りの解は $x=3$ で、条件を満たす。

したがって $(a,b)=(-7,17)$。

係数が実数なので、$2-i$ が解なら共役な $2+i$ も解である。残りの解を $c$ とおく。$(x-(2-i))(x-(2+i))=x^2-4x+5$ なので、与式は $(x^2-4x+5)(x-c)$ と因数分解できる。展開すると $x^3-(c+4)x^2+(4c+5)x-5c$ となる。定数項を比べると $-5c=-15$ より $c=3$。よって $a=-(3+4)=-7$、$b=4\cdot 3+5=17$。
検算：$(x^2-4x+5)(x-3)=x^3-3x^2-4x^2+12x+5x-15=x^3-7x^2+17x-15$ で一致する。さらに $x=2-i$ を直接代入する。$x^2=4-4i+i^2=3-4i$、$x^3=(3-4i)(2-i)=6-3i-8i+4i^2=2-11i$。$x^3-7x^2+17x-15=(2-11i)-7(3-4i)+17(2-i)-15=(2-21+34-15)+(-11+28-17)i=0$。よって成り立つ。