複素数と方程式の問題

係数 $a,b$ は実数で、方程式は虚数解 $\alpha$ をもつ。実数係数の 2 次方程式なので、もう 1 つの解 $\beta$ も虚数で、$\beta \ne \alpha$ である（$\beta$ は $\alpha$ と共役な複素数）。解と係数の関係より
$$\alpha +\beta =-a,\alpha \beta =b$$
である。方程式の解は $\alpha ,\beta$ の 2 つだけなので、${\alpha }^2+4\alpha +2$ は $\alpha$ または $\beta$ に等しい。

(i) ${\alpha }^2+4\alpha +2=\alpha$ のとき
$${\alpha }^2+3\alpha +2=0⟺(\alpha +1)(\alpha +2)=0$$
より $\alpha =-1$ または $\alpha =-2$ となる。これは $\alpha$ が虚数であることに反する。よって、この場合は起こらない。

(ii) ${\alpha }^2+4\alpha +2=\beta$ のとき
$\beta =-a-\alpha$ を代入すると
$${\alpha }^2+4\alpha +2=-a-\alpha ⟺{\alpha }^2+5\alpha +a+2=0(1)$$
となる。また、$\alpha$ は $x^2+ax+b=0$ の解なので
$${\alpha }^2=-a\alpha -b(2)$$
である。$(2)$ を $(1)$ に代入すると
$$-a\alpha -b+5\alpha +a+2=0⟺(5-a)\alpha +(a+2-b)=0$$
となる。
$5-a\ne 0$ と仮定すると $\alpha =\frac{b-a-2}{5-a}$ となり、$a,b$ が実数であることから $\alpha$ は実数になって矛盾する。よって
$$5-a=0,a+2-b=0$$
であり、$a=5,b=7$ を得る。

確認
方程式は $x^2+5x+7=0$ で、判別式は
$$D=5^2-4\cdot 7=-3<0$$
なので、確かに虚数解をもつ。さらに ${\alpha }^2=-5\alpha -7$ より
$${\alpha }^2+4\alpha +2=-\alpha -5$$
であり、$\alpha +\beta =-5$ から $-\alpha -5=\beta$ となる。よって ${\alpha }^2+4\alpha +2$ は確かにこの方程式の解である。

以上より $(a,b)=(5,7)$ である。

係数が実数なので、虚数解 $\alpha$ に対し共役な $\bar{\alpha }$ も解であり、解は $\alpha ,\bar{\alpha }$ の 2 つである。したがって ${\alpha }^2+4\alpha +2$ は $\alpha$ か $\bar{\alpha }$ のどちらかに等しい。

(i) ${\alpha }^2+4\alpha +2=\alpha$ のとき、${\alpha }^2+3\alpha +2=0$ より $\alpha =-1,-2$ となる。これは実数なので虚数解であることに反し、不適。

(ii) ${\alpha }^2+4\alpha +2=\bar{\alpha }$ のとき、$\alpha =p+qi$（$q\ne 0$）とおく。${\alpha }^2=p^2-q^2+2pqi$ だから、
実部: $p^2-q^2+4p+2=p$
虚部: $2pq+4q=-q$
虚部より $q(2p+5)=0$。$q\ne 0$ なので $p=-\frac{5}{2}$。
これを実部の式に代入すると $\frac{25}{4}-q^2-10+2=-\frac{5}{2}$ となり、$q^2=\frac{3}{4}$。これは $q\ne 0$ を満たす。

よって解は $\alpha ,\bar{\alpha }$ であり、解と係数の関係から
$a=-(\alpha +\bar{\alpha })=-2p=5$、
$b=\alpha \bar{\alpha }=p^2+q^2=\frac{25}{4}+\frac{3}{4}=7$。

検算: $x^2+5x+7=0$ の判別式は $25-28=-3<0$ で虚数解をもつ。${\alpha }^2=-5\alpha -7$ より ${\alpha }^2+4\alpha +2=-\alpha -5$。$\alpha +\bar{\alpha }=-5$ だから $-\alpha -5=\bar{\alpha }$ となり、確かに解である。

答え: $(a,b)=(5,7)$