複素数と方程式の問題

方程式 $x^2+ax+b=0$ が虚数解をもつ条件は、判別式を $D$ とすると
$$D=a^2-4b<0(1)$$
である。このとき 2 つの解 $\alpha ,\beta$ は互いに共役な複素数であり、解と係数の関係から
$$\alpha +\beta =-a,\alpha \beta =b$$
が成り立つ。

${\alpha }^6$ が実数となる条件の言いかえ

$\beta =\overline{\alpha }$ より ${\beta }^6=\overline{{\alpha }^6}$ である。複素数 $w$ が実数であることは $w=\overline{w}$ と同値なので、
$${\alpha }^6\text{ が実数}⟺{\alpha }^6={\beta }^6⟺{\alpha }^6-{\beta }^6=0$$
である。ここで
$${\alpha }^6-{\beta }^6=({\alpha }^3-{\beta }^3)({\alpha }^3+{\beta }^3)=(\alpha -\beta )({\alpha }^2+\alpha \beta +{\beta }^2)(\alpha +\beta )({\alpha }^2-\alpha \beta +{\beta }^2)$$
と因数分解できる。$\alpha ,\beta$ は異なる虚数解なので $\alpha -\beta \ne 0$ である。また
$${\alpha }^2+\alpha \beta +{\beta }^2=(\alpha +\beta {)}^2-\alpha \beta =a^2-b,$$
$${\alpha }^2-\alpha \beta +{\beta }^2=(\alpha +\beta {)}^2-3\alpha \beta =a^2-3b$$
だから、${\alpha }^6$ が実数となる条件は
$$a=0\text{または}{a}^2=b\text{または}{a}^2=3b$$
である。

それぞれの場合を数える

(i) $a=0$ のとき：$(1)$ は $-4b<0$ となり、$1\leqq b\leqq 100$ のすべての $b$ で成り立つ。よって $100$ 個。

(ii) $a^2=b$ のとき：$(1)$ は $b-4b=-3b<0$ となり成り立つ。$b$ は $1$ 以上 $100$ 以下の平方数 $1^2,2^2,\dots ,10^2$ で、それぞれ $a=\pm \sqrt{b}$ の 2 通りあるので $10\times 2=20$ 個。

(iii) $a^2=3b$ のとき：$(1)$ は $3b-4b=-b<0$ となり成り立つ。$a^2$ が $3$ の倍数なので $a$ は $3$ の倍数であり、$a=3k$（$k$ は $0$ でない整数）とおくと $b=3k^2$。$1\leqq 3k^2\leqq 100$ より $k^2\leqq 33$ なので $k=\pm 1,\pm 2,\pm 3,\pm 4,\pm 5$ の $10$ 個。

重なりの確認

(i) と (ii) が同時に成り立つと $b=0$、(i) と (iii) でも $b=0$、(ii) と (iii) でも $b=3b$ より $b=0$ となり、いずれも $b\geqq 1$ に反する。よって重なりはない。

以上より、求める個数は
$$100+20+10=130$$
である。

虚数解をもつので $a^2-4b<0$。解は互いに共役で、$\alpha =\sqrt{b}(\cos \theta +i\sin \theta )$($0<\theta <\pi$ としてよい、他方の解は $-\theta$ に対応するが ${\alpha }^6$ が実数かどうかは共役でも同じ)。解と係数の関係より $\alpha +\bar{\alpha }=-a$、$\alpha \bar{\alpha }=b$ なので $|\alpha |=\sqrt{b}$、$2\sqrt{b}\cos \theta =-a$。

${\alpha }^6=b^3(\cos 6\theta +i\sin 6\theta )$ が実数 $⟺\sin 6\theta =0⟺\theta =\frac{k\pi }{6}$($k=1,2,3,4,5$)。

各 $\theta$ について $a=-2\sqrt{b}\cos \theta$ を満たす整数 $(a,b)$($1\le b\le 100$)を数える。
- $\theta =\frac{\pi }{2}$: $a=0$。$b=1,\dots ,100$ の 100 組。($a^2-4b=-4b<0$ で虚数解)
- $\theta =\frac{\pi }{3}$($\cos \theta =\frac{1}{2}$): $a=-\sqrt{b}$。$b=n^2,a=-n$($n=1,\dots ,10$)の 10 組。
- $\theta =\frac{2\pi }{3}$($\cos \theta =-\frac{1}{2}$): $a=\sqrt{b}$。$b=n^2,a=n$($n=1,\dots ,10$)の 10 組。
- $\theta =\frac{\pi }{6}$($\cos \theta =\frac{\sqrt{3}}{2}$): $a=-\sqrt{3b}$。$3b=m^2$ より $m=3k$、$b=3k^2\le 100$ から $k=1,\dots ,5$。$a=-3k$ の 5 組。
- $\theta =\frac{5\pi }{6}$: 同様に $a=3k,b=3k^2$($k=1,\dots ,5$)の 5 組。

どの場合も $a^2-4b<0$ を満たす(例えば $\theta =\pi /6$ では $a^2=3b<4b$)。また、$a=0$ の組と $a\ne 0$ の組は重ならず、$a$ の符号や $b$ の値で互いに異なるので重複はない。

合計 $100+10+10+5+5=130$。

検算: $(a,b)=(-3,3)$ のとき $x^2-3x+3=0$、$x=\frac{3\pm \sqrt{3}i}{2}=\sqrt{3}\left(\cos \frac{\pi }{6}\pm i\sin \frac{\pi }{6}\right)$、${\alpha }^6=27(\cos \pi )=-27$ で実数。