整式の除法

整式 $A$ を整式 $B$ で割った商 $Q$ と余り $R$ を求め、 $A = B Q + R$ （ $R$ の次数 $<$ $B$ の次数）の形で表せる

前提

3 次式までの展開と因数分解（数学I 数と式）

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算数中学高校大学大学院

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小数の四則計算（算数計算と数のきまり）
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分数のかけ算・わり算（算数計算と数のきまり）
四則の混じった計算の順序（算数計算と数のきまり）
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文字式の計算（同類項・分配法則）（中学数学数と式）
乗法公式による展開（中学数学数と式）
因数分解（中学数学数と式）
3 次式までの展開と因数分解（数学I 数と式）

説明

整式 $A$ を整式 $B$ で割って、商 $Q$ と余り $R$ を求める方法を学びます。結果は $A = B Q + R$ （ $R$ の次数 $<$ $B$ の次数）の形で表します。整数の割り算 $17 = 5 \times 3 + 2$ と同じ考え方を、文字 $x$ の整式で行うものです。式の値の計算や因数分解の手がかり、分数式の整理など、多くの場面の土台になります。

なぜそうしてよいのか

整数の割り算では、割られる数から割る数を何回か引いて、割る数より小さくなったら止めます。整式でも同じことをします。比べる基準は「大きさ」ではなく「次数」です。 $A$ から「 $B$ に単項式を掛けたもの」を引き、 $A$ の最高次の項を消します。たとえば $A$ の最高次の項が $x^{3}$ 、 $B$ の最高次の項が $x^{2}$ なら、 $B$ に $x$ を掛けたものを引けば $x^{3}$ の項が消えます。こうして次数が少なくとも 1 つ下がります。

引いて残った式に同じ操作をくり返すと、次数は必ず下がり続けます。残りの次数が $B$ の次数より小さくなった時点で、もう最高次の項を消せないので止めます。途中で $B$ に掛けた単項式の合計が商 $Q$ 、最後に残った式が余り $R$ です。 $A$ から $B Q$ を引いた残りが $R$ なので、 $A - B Q = R$ 、つまり $A = B Q + R$ が成り立ちます。

「余りの次数 $<$ 割る式の次数」という条件を付けると、商と余りはただ 1 通りに決まります。整数で「余りは割る数より小さい」と決めるのと同じ役割の条件です。答えが合っているかどうかは、前提の技能である展開を使って $B Q + R$ を計算し、 $A$ に戻るかで確かめられます。

手順

$A$ と $B$ をそれぞれ降べきの順（次数の高い順）に整理する。ない次数の項は係数 $0$ の項として空けておく（例: $x^{3} + 2 x - 7$ は $x^{3} + 0 x^{2} + 2 x - 7$ と見る）
$A$ の最高次の項を $B$ の最高次の項で割り、商の最初の項を求める（例: $x^{3} \div x^{2} = x$ ）
求めた項を $B$ に掛け、その結果を $A$ から引く。符号に注意して、各項を丁寧に引く
引いて残った式の次数が $B$ の次数以上なら、残った式を新しい $A$ と見て手順 2・3 をくり返す
残った式の次数が $B$ の次数より小さくなったら止める。商の項を合計したものが $Q$ 、残った式が $R$ である
展開して $B Q + R = A$ となるかを確かめ、 $A = B Q + R$ の形で書く

例題

整式 $A = x^{3} + 2 x - 7$ を整式 $B = x^{2} - 2 x + 3$ で割ったときの商 $Q$ と余り $R$ を求め、 $(Q, R)$ の順に答えよ。

例題の解答

手順 1: $A$ には $x^{2}$ の項がないので、 $A = x^{3} + 0 x^{2} + 2 x - 7$ と見る。 $B = x^{2} - 2 x + 3$ はすでに降べきの順に並んでいる。

手順 2: $x^{3} \div x^{2} = x$ なので、商の最初の項は $x$ 。

手順 3: $x (x^{2} - 2 x + 3) = x^{3} - 2 x^{2} + 3 x$ を $A$ から引く。
$(x^{3} + 0 x^{2} + 2 x - 7) - (x^{3} - 2 x^{2} + 3 x) = 2 x^{2} - x - 7$

手順 4: 残りの $2 x^{2} - x - 7$ は 2 次で、 $B$ の次数 2 以上なので続ける。 $2 x^{2} \div x^{2} = 2$ なので、商の次の項は $2$ 。 $2 (x^{2} - 2 x + 3) = 2 x^{2} - 4 x + 6$ を引くと
$(2 x^{2} - x - 7) - (2 x^{2} - 4 x + 6) = 3 x - 13$

手順 5: $3 x - 13$ は 1 次で、 $B$ の次数 2 より小さいので止める。商は $Q = x + 2$ 、余りは $R = 3 x - 13$ 。

手順 6: 確かめると $(x^{2} - 2 x + 3) (x + 2) = x^{3} + 2 x^{2} - 2 x^{2} - 4 x + 3 x + 6 = x^{3} - x + 6$ 。これに $3 x - 13$ を加えると $x^{3} + 2 x - 7$ となり、 $A$ に一致する。よって
$x^{3} + 2 x - 7 = (x^{2} - 2 x + 3) (x + 2) + 3 x - 13$
答えは $(Q, R) = (x + 2, 3 x - 13)$ である。

答え: $(x + 2, 3 x - 13)$

よくある誤り

ない次数の項を空けずに計算し、縦にそろえる位置がずれてしまう誤り。正しくは、 $x^{3} + 2 x - 7$ を $x^{3} + 0 x^{2} + 2 x - 7$ と見て、同じ次数の項どうしを引く。
引き算で、2 つ目以降の項の符号を変え忘れる誤り。たとえば $(2 x^{2} - x - 7) - (2 x^{2} - 4 x + 6)$ を $- x - 4 x$ や $- 7 + 6$ と計算してしまう。正しくは、引く式の全部の項の符号を変えて $- x + 4 x = 3 x$ 、 $- 7 - 6 = - 13$ とする。
余りの次数が割る式の次数以上なのに途中で止めてしまう誤り。たとえば $B$ が 2 次のとき、 $2 x^{2} - x - 7$ を余りとするのは誤り。正しくは、余りの次数が $B$ の次数より小さくなる（この場合 1 次以下の $3 x - 13$ になる）まで続ける。
結果を $A = QR + B$ や $A = B (Q + R)$ のように書いてしまう誤り。正しくは $A = B Q + R$ で、余り $R$ は $B Q$ に足す。 $x^{3} + 2 x - 7 = (x^{2} - 2 x + 3) (x + 2) + 3 x - 13$ のように書く。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

2 次以上の式で割った余り（数学II 複素数と方程式）
虚数解をもつ高次方程式の係数決定（数学II 複素数と方程式）
剰余環のイデアルと単元の個数（大学数学代数学）
巡回符号と生成多項式（大学数学情報理論・符号理論）