2 次以上の式で割った余り

余りを $a x^{2} + b x + c$ などとおき、 $P (x) = (x - 1)^{2} (x + 2) Q (x) + R (x)$ の形と剰余の定理を組み合わせて、 $(x - 1)^{2} (x + 2)$ のような 2 次・3 次の式で割った余りを求められる

前提

剰余の定理・因数定理と高次方程式（数学II 複素数と方程式）
整式の除法（数学II 複素数と方程式）

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算数中学高校大学大学院

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剰余の定理・因数定理と高次方程式（数学II 複素数と方程式）
整式の除法（数学II 複素数と方程式）

説明

整式 $P (x)$ そのものがわからなくても、「 $x + 2$ で割った余り」「 $(x - 1)^{2}$ で割った余り」などの情報があれば、 $(x - 1) (x + 2)$ や $(x - 1)^{2} (x + 2)$ のような 2 次・3 次の式で割った余りを求められます。やり方は、余りを文字でおき、割り算の等式に $x$ の値を代入して文字の値を決めることです。商がわからないままでも、余りだけを取り出せるのがこの方法のよいところです。

なぜそうしてよいのか

整式の除法では、 $P (x)$ を $B (x)$ で割った商を $Q (x)$ 、余りを $R (x)$ とすると $P (x) = B (x) Q (x) + R (x)$ と書けます。このとき $R (x)$ の次数は $B (x)$ の次数より小さくなります。だから、2 次式で割った余りは $a x + b$ 、3 次式で割った余りは $a x^{2} + b x + c$ とおけます（ $a$ などが $0$ になることもあります）。これで、求めるものは $a, b, c$ という有限個の数だけになります。

次に、 $B (x) = 0$ の解 $x = β$ を代入します。すると $B (β) Q (β) = 0$ となって商の部分が消え、 $P (β) = R (β)$ が得られます。一方、剰余の定理より $P (β)$ は「 $P (x)$ を $x - β$ で割った余り」です。こうして、わからない $Q (x)$ を使わずに $a, b, c$ の方程式が作れます。 $B (x) = (x - 1) (x + 2)$ のように同じ因数を含まないなら、解 $x = 1, - 2$ をそれぞれ代入すれば、未知数 2 つに対して式が 2 本そろいます。

$B (x) = (x - 1)^{2} (x + 2)$ のように同じ因数を 2 つ含むと、 $B (x) = 0$ の異なる解は $x = 1, - 2$ の 2 つだけです。そのため式は 2 本しか作れず、未知数 3 つには足りません。そこで「 $(x - 1)^{2}$ で割った余り $r (x)$ 」を使います。 $R (x)$ （2 次以下）を $(x - 1)^{2}$ で割った商は定数なので、 $R (x) = a (x - 1)^{2} + s (x)$ （ $s (x)$ は 1 次以下）と書けます。代入すると $P (x) = (x - 1)^{2} {(x + 2) Q (x) + a} + s (x)$ となり、 $s (x)$ は 1 次以下なので、これがちょうど「 $P (x)$ を $(x - 1)^{2}$ で割った余り」 $r (x)$ です。よって $R (x) = a (x - 1)^{2} + r (x)$ とおけて、未知数は $a$ の 1 つだけになります。

この形では、 $x = 1$ を代入しても $R (1) = r (1)$ となるだけです。これは $(x - 1)^{2}$ で割った余りの情報としてすでに使っているので、 $a$ を決める新しい式にはなりません。だから $a$ を決めるには、まだ使っていない別の解 $x = - 2$ を代入します。

手順

割る式 $B (x)$ の次数より 1 小さい次数で余りをおく（2 次式で割るなら $R (x) = a x + b$ 、3 次式で割るなら $R (x) = a x^{2} + b x + c$ ）
割り算の等式 $P (x) = B (x) Q (x) + R (x)$ を書く
$B (x)$ が $(x - α)^{2}$ を因数に含み、 $P (x)$ を $(x - α)^{2}$ で割った余り $r (x)$ がわかっているときは、 $R (x) = a (x - α)^{2} + r (x)$ とおき直す（ $x = α$ を代入しても $R (α) = r (α)$ となるだけで、新しい情報は出ない）
まだ使っていない $B (x) = 0$ の解 $x = β$ を代入して $P (β) = R (β)$ を作る。さらに剰余の定理で、 $P (β)$ を与えられた余りの値（ $x - β$ で割った余り）に置きかえる。手順 3 を使わない場合は、 $B (x) = 0$ の解をそれぞれ代入する
できた方程式（連立方程式）を解いて文字の値を求め、 $R (x)$ を答える

例題

整式 $P (x)$ を $(x - 1)^{2}$ で割ると余りが $2 x + 1$ 、 $x + 2$ で割ると余りが $6$ である。 $P (x)$ を $(x - 1)^{2} (x + 2)$ で割った余りを求めよ。

例題の解答

【手順1・2】 $(x - 1)^{2} (x + 2)$ は 3 次式なので、余り $R (x)$ は 2 次以下です。商を $Q (x)$ とすると $P (x) = (x - 1)^{2} (x + 2) Q (x) + R (x)$ と書けます。
【手順3】 $B (x)$ は $(x - 1)^{2}$ を含み、 $(x - 1)^{2}$ で割った余りは $2 x + 1$ とわかっています。そこで $R (x) = a (x - 1)^{2} + 2 x + 1$ （ $a$ は定数）とおけるので、
$P (x) = (x - 1)^{2} (x + 2) Q (x) + a (x - 1)^{2} + 2 x + 1$
ここで $x = 1$ を代入しても $P (1) = 3$ となるだけです。これは $2 x + 1$ に $x = 1$ を入れた値と同じで、 $a$ は決まりません。
【手順4】まだ使っていない $B (x) = 0$ の解 $x = - 2$ を代入します。 $(x + 2)$ の部分が $0$ になるので、 $P (- 2) = a \cdot (- 3)^{2} + 2 \cdot (- 2) + 1 = 9 a - 3$ です。剰余の定理より、 $P (- 2)$ は $x + 2$ で割った余りなので $P (- 2) = 6$ 。よって $9 a - 3 = 6$ です。
【手順5】 $a = 1$ となります。したがって $R (x) = (x - 1)^{2} + 2 x + 1 = x^{2} + 2$ です。
（確かめ： $R (- 2) = 4 + 2 = 6$ です。また $x^{2} + 2 = (x - 1)^{2} + (2 x + 1)$ なので、 $(x - 1)^{2}$ で割った余りは $2 x + 1$ です。どちらも条件に合います。）
答え： $x^{2} + 2$

答え: $x^{2} + 2$

よくある誤り

3 次式 $(x - 1)^{2} (x + 2)$ で割った余りを $a x + b$ とおいてしまう誤り。正しくは、余りの次数は 2 以下なので $a x^{2} + b x + c$ （または $a (x - 1)^{2} + r (x)$ ）とおく。
余りを $a x^{2} + b x + c$ とおき、 $x = 1$ と $x = - 2$ の代入だけで解こうとする誤り。式が 2 本で未知数が 3 つなので決まらない。正しくは、 $(x - 1)^{2}$ で割った余りを使って $R (x) = a (x - 1)^{2} + 2 x + 1$ とおき、 $x = - 2$ を代入して $a$ を決める。
$R (x) = a (x - 1)^{2} + 2 x + 1$ とおいたあと、 $x = 1$ を代入して $a$ を求めようとする誤り。 $x = 1$ では $(x - 1)^{2} = 0$ となり、 $P (1) = 3$ しか得られず $a$ は消える。正しくは、別の解 $x = - 2$ を代入して $9 a - 3 = 6$ とする。
$(x - 1)^{2}$ で割った余りが $2 x + 1$ だから、 $(x - 1)^{2} (x + 2)$ で割った余りも $2 x + 1$ だとしてしまう誤り。正しくは $R (x) = a (x - 1)^{2} + 2 x + 1$ で、 $a$ は別の条件（例では $P (- 2) = 6$ ）から決める。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

2 次以上の式で割った余り

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