複素数と方程式の問題

$P(x)$ を 3 次式 $(x-1{)}^2(x+2)$ で割ったときの商を $Q(x)$，余りを $R(x)$ とする。余りの次数は 2 以下なので，
$$P(x)=(x-1{)}^2(x+2)Q(x)+R(x)$$
と表せる。

右辺の第 1 項は $(x-1{)}^2$ で割り切れる。したがって，$P(x)$ を $(x-1{)}^2$ で割った余りは $R(x)$ を $(x-1{)}^2$ で割った余りに等しい。条件よりその余りは $2x+3$ である。

$R(x)$ の次数は 2 以下なので，定数 $k$ を用いて
$$R(x)=k(x-1{)}^2+2x+3$$
と書ける。よって
$$P(x)=(x-1{)}^2(x+2)Q(x)+k(x-1{)}^2+2x+3$$
である。

次に，$P(x)$ を $x+2$ で割った余りが $8$ であるから，剰余の定理より $P(-2)=8$ である。上の式に $x=-2$ を代入すると，
$$P(-2)=0+k(-2-1{)}^2+2\cdot (-2)+3=9k-1$$
となる。これが $8$ に等しいので
$$9k-1=8\text{より}k=1$$
である。

したがって，求める余りは
$$R(x)=(x-1{)}^2+2x+3=x^2-2x+1+2x+3=x^2+4$$
である。

（確認）$x^2+4=(x-1{)}^2+2x+3$ なので，$(x-1{)}^2$ で割った余りは $2x+3$ である。また，$R(-2)=4+4=8$ である。どちらも条件を満たす。

$P(x)$ を $(x-1{)}^2(x+2)$ で割った余りは 2 次以下なので、$P(x)=(x-1{)}^2(x+2)Q(x)+a{x}^2+bx+c$ とおく。

$(x-1{)}^2$ で割った余りが $2x+3$ なので、$a{x}^2+bx+c$ を $(x-1{)}^2$ で割った余りも $2x+3$ である。よって $a{x}^2+bx+c=a(x-1{)}^2+2x+3$ と書ける。

$x+2$ で割った余りが 8 なので $P(-2)=8$。$P(-2)=a(-3{)}^2+2(-2)+3=9a-1=8$ より $a=1$。

したがって余りは $(x-1{)}^2+2x+3=x^2+4$。

検算：$x^2+4$ を $(x-1{)}^2=x^2-2x+1$ で割ると商 1、余り $2x+3$ で一致する。$x=-2$ を代入すると $4+4=8$ で一致する。