複素数と方程式の問題

方針　3 次式で割った余りは 2 次以下の式なので、余りを $a{x}^2+bx+c$ とおき、剰余の定理で $a,b,c$ を決めます。

手順 1：割り算の式を書く

$P(x)$ を $(x-1)(x+1)(x-2)$ で割ったときの商を $Q(x)$、余りを $a{x}^2+bx+c$ とすると、
$$P(x)=(x-1)(x+1)(x-2)Q(x)+a{x}^2+bx+c$$
と表せます。

手順 2：剰余の定理で条件を式にする

剰余の定理から、$P(1)=2$、$P(-1)=6$、$P(2)=3$ です。上の式に $x=1,-1,2$ を代入すると、$(x-1)(x+1)(x-2)Q(x)$ の部分は $0$ になるので、
$$P(1)=a+b+c=2(1)$$
$$P(-1)=a-b+c=6(2)$$
$$P(2)=4a+2b+c=3(3)$$

手順 3：連立方程式を解く

$(1)-(2)$ より $2b=-4$ なので $b=-2$ です。

これを $(1)$ に代入すると $a+c=4(4)$ となります。

$b=-2$ を $(3)$ に代入すると $4a-4+c=3$ なので、$4a+c=7(5)$ となります。

$(5)-(4)$ より $3a=3$ なので $a=1$ です。$(4)$ より $c=3$ です。

確かめ

$R(x)=x^2-2x+3$ とすると、
- $R(1)=1-2+3=2$
- $R(-1)=1+2+3=6$
- $R(2)=4-4+3=3$

となり、条件をすべて満たします。

よって、求める余りは $x^2-2x+3$ です。

余りは 2 次以下の整式なので $R(x)=a{x}^2+bx+c$ とおく。剰余の定理より $P(1)=2,P(-1)=6,P(2)=3$ であり、これらは $R(1)=2,R(-1)=6,R(2)=3$ と同じ値である。
$a+b+c=2$ …①、$a-b+c=6$ …②、$4a+2b+c=3$ …③。
①−②より $2b=-4$ なので $b=-2$。このとき①より $a+c=4$。③に $b=-2$ を代入すると $4a+c=7$。これと $a+c=4$ の差から $3a=3$ なので $a=1$、$c=3$。
よって余りは $x^2-2x+3$。
検算：$R(1)=1-2+3=2$、$R(-1)=1+2+3=6$、$R(2)=4-4+3=3$ となり、すべて条件に合う。