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複素数と方程式の問題

難易度 1教科書の例題レベル数学II 複素数と方程式

$x$ の整式 $P (x)$ を $x + 1$ で割ると余りは $2$ であり、 $x - 3$ で割ると余りは $10$ である。 $P (x)$ を $x^{2} - 2 x - 3$ で割ったときの余りを求めよ。

この問題で使うもの

2 次以上の式で割った余り（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（14 技能）

算数中学高校大学大学院

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右端（太枠）がこの問題で使う技能です。左へドラッグすると、さらに前の前提をさかのぼれます。技能を押すと、そこまでの道筋が光ります。

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ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

「2 次以上の式で割った余り」の技能を使います。2 次式で割った余りは 1 次以下なので、余りを $a x + b$ とおき、 $P (x) = (x + 1) (x - 3) Q (x) + a x + b$ と表してみましょう。

ヒント 2

剰余の定理より $P (- 1) = 2$ 、 $P (3) = 10$ です。 $x = - 1, 3$ を代入すると $(x + 1) (x - 3) Q (x)$ の部分が $0$ になります。

ヒント 3

$- a + b = 2$ 、 $3 a + b = 10$ という連立方程式が得られます。これを解いて $a, b$ を求めましょう。

答えと解説

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2 x + 4

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解説を読む

手順1：割る式を因数分解する

$x^{2} - 2 x - 3 = (x + 1) (x - 3)$

手順2：余りの形をおく

割る式は 2 次式なので、余りは 1 次以下の式です。そこで余りを $a x + b$ （ $a, b$ は定数）とおきます。商を $Q (x)$ とすると
$P (x) = (x + 1) (x - 3) Q (x) + a x + b$
と表せます。

手順3：剰余の定理を使う

$P (x)$ を $x + 1$ で割った余りが $2$ なので、剰余の定理より $P (- 1) = 2$ です。上の式に $x = - 1$ を代入すると $(x + 1) (x - 3) Q (x)$ の部分は $0$ になるので
$P (- 1) = - a + b = 2 (1)$

同様に、 $x - 3$ で割った余りが $10$ なので $P (3) = 10$ です。 $x = 3$ を代入すると
$P (3) = 3 a + b = 10 (2)$

手順4：連立方程式を解く

$(2) - (1)$ より $4 a = 8$ 、よって $a = 2$ 。 $(1)$ に代入して $b = 2 + a = 4$ 。

したがって、求める余りは
$2 x + 4$

（確認： $x = - 1$ のとき $2 \cdot (- 1) + 4 = 2$ 、 $x = 3$ のとき $2 \cdot 3 + 4 = 10$ となり、条件に合います。）

別解

$x^{2} - 2 x - 3 = (x + 1) (x - 3)$ なので、余りは $a x + b$ とおける。 $P (x) = (x^{2} - 2 x - 3) Q (x) + a x + b$ と書ける。剰余の定理より $P (- 1) = 2$ , $P (3) = 10$ 。よって $- a + b = 2$ , $3 a + b = 10$ 。辺々引くと $4 a = 8$ より $a = 2$ 、 $b = 4$ 。余りは $2 x + 4$ 。検算: $x = - 1$ のとき $2 (- 1) + 4 = 2$ 、 $x = 3$ のとき $6 + 4 = 10$ で条件を満たす。

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