複素数と方程式の問題

まず、割る式を因数分解しておく。
$$x^2-3x+2=(x-1)(x-2),x^2+2x-3=(x-1)(x+3)$$

$P(1)$ の値を求める

$P(x)$ を $(x-1)(x-2)$ で割った商を $Q_1(x)$ とすると、余りが $2x+5$ であるから
$$P(x)=(x-1)(x-2)Q_1(x)+2x+5$$
と表せる。$x=1$ を代入すると
$$P(1)=0+2\cdot 1+5=7$$

$P(-3)$ の値を求める

$P(x)$ を $x+3$ で割った余りが $3$ であるから、剰余の定理より
$$P(-3)=3$$

求める余りを決める

$x^2+2x-3$ は $2$ 次式なので、割ったときの余りは $1$ 次以下の式である。商を $Q(x)$、余りを $ax+b$（$a,b$ は定数）とおくと
$$P(x)=(x-1)(x+3)Q(x)+ax+b$$

$x=1$ を代入すると $P(1)=a+b$ である。$P(1)=7$ より
$$a+b=7(1)$$

$x=-3$ を代入すると $P(-3)=-3a+b$ である。$P(-3)=3$ より
$$-3a+b=3(2)$$

$(1)-(2)$ より $4a=4$ となるので、$a=1$ である。これを $(1)$ に代入すると $b=6$ となる。

よって、求める余りは $x+6$ である。

$x^2-3x+2=(x-1)(x-2)$ で割った余りが $2x+5$ なので、$P(1)=2\cdot 1+5=7$ である。
$x+3$ で割った余りが $3$ なので、剰余の定理より $P(-3)=3$ である。
$x^2+2x-3=(x+3)(x-1)$ で割った余りは 1 次以下なので $ax+b$ とおく。
$P(x)=(x+3)(x-1)Q(x)+ax+b$ と書けるから、
$P(1)=a+b=7$、$P(-3)=-3a+b=3$ となる。
2 式の差から $4a=4$ で $a=1$、よって $b=6$ である。
余りは $x+6$。
検算：$x=1$ のとき $1+6=7$、$x=-3$ のとき $-3+6=3$ で、条件に合う。