複素数と方程式の問題

$(x-1{)}^2(x+2)$ は $3$ 次式なので、$P(x)$ をこれで割った余りは $2$ 次以下の整式である。商を $Q(x)$、余りを $R(x)$ とすると
$$P(x)=(x-1{)}^2(x+2)Q(x)+R(x)$$
と表せる。

右辺の第 $1$ 項は $(x-1{)}^2$ で割り切れる。よって、$P(x)$ を $(x-1{)}^2$ で割った余りは、$R(x)$ を $(x-1{)}^2$ で割った余りに等しい。

$R(x)$ は $2$ 次以下なので、$(x-1{)}^2$ で割った商は定数になる。これを $a$ とおくと、余りが $3x-1$ であることから
$$R(x)=a(x-1{)}^2+3x-1$$
と書ける。したがって
$$P(x)=(x-1{)}^2(x+2)Q(x)+a(x-1{)}^2+3x-1$$
となる。

次に、$P(x)$ を $x+2$ で割った余りが $-16$ なので、剰余の定理より $P(-2)=-16$ である。上の式に $x=-2$ を代入すると、第 $1$ 項は $0$ になるから
$$P(-2)=a(-2-1{)}^2+3\cdot (-2)-1=9a-7$$
となる。よって $9a-7=-16$ より $a=-1$ である。

したがって
$$R(x)=-(x-1{)}^2+3x-1=-(x^2-2x+1)+3x-1=-x^2+5x-2$$

(確認)
- $R(-2)=-4-10-2=-16$ であり、条件を満たす。
- $-x^2+5x-2=-(x-1{)}^2+3x-1$ より、$(x-1{)}^2$ で割った余りは $3x-1$ であり、条件を満たす。

答えは $-x^2+5x-2$ である。

余りは2次以下なので $R(x)=a(x-1{)}^2+3x-1$ とおける。これは $P(x)$ を $(x-1{)}^2(x+2)$ で割った余りを $(x-1{)}^2$ で割った余りが $3x-1$ になる条件を満たす形である。

$P(-2)=-16$ より $R(-2)=-16$。
$R(-2)=a\cdot 9+3(-2)-1=9a-7=-16$ なので $a=-1$。

よって $R(x)=-(x-1{)}^2+3x-1=-x^2+2x-1+3x-1=-x^2+5x-2$。

検算:
$R(x)$ を $(x-1{)}^2$ で割ると $-x^2+5x-2=-(x-1{)}^2+3x-1$ となり余りは $3x-1$ で一致する。
$R(-2)=-4-10-2=-16$ で一致する。

答え: $-x^2+5x-2$