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複素数と方程式の問題

難易度 1教科書の例題レベル数学II 複素数と方程式

$x$ の整式 $P (x)$ を $x - 3$ で割ると余りは $5$ であり、 $x + 2$ で割ると余りは $- 5$ である。 $P (x)$ を $x^{2} - x - 6$ で割ったときの余りを求めよ。

この問題で使うもの

2 次以上の式で割った余り（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（14 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

「2 次以上の式で割った余り」の技能を使います。2 次式で割った余りは 1 次以下なので、余りを $a x + b$ とおき、剰余の定理と組み合わせます。

ヒント 2

$x^{2} - x - 6 = (x - 3) (x + 2)$ と因数分解し、 $P (x) = (x - 3) (x + 2) Q (x) + a x + b$ と表します。剰余の定理から $P (3) = 5$ 、 $P (- 2) = - 5$ です。

ヒント 3

$x = 3, - 2$ を代入すると $3 a + b = 5$ 、 $- 2 a + b = - 5$ という連立方程式が得られます。これを解きましょう。

答えと解説

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2 x - 1

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解説を読む

手順 1：割る式を因数分解する

$x^{2} - x - 6 = (x - 3) (x + 2)$

手順 2：余りの形をおく

2 次式で割った余りの次数は 1 次以下である。そこで、商を $Q (x)$ 、余りを $a x + b$ （ $a, b$ は定数）とおくと
$P (x) = (x - 3) (x + 2) Q (x) + a x + b$
と表せる。

手順 3：剰余の定理を使う

剰余の定理より、 $P (x)$ を $x - 3$ で割った余りは $P (3)$ 、 $x + 2$ で割った余りは $P (- 2)$ である。よって
$P (3) = 5, P (- 2) = - 5$

上の式に $x = 3$ を代入すると、 $(x - 3) (x + 2) Q (x)$ の部分は $0$ になるので
$P (3) = 3 a + b より 3 a + b = 5 (1)$

$x = - 2$ を代入すると、同様に
$P (- 2) = - 2 a + b より - 2 a + b = - 5 (2)$

手順 4：連立方程式を解く

$(1) - (2)$ より $5 a = 10$ 、よって $a = 2$ 。

$(1)$ に代入して $6 + b = 5$ 、よって $b = - 1$ 。

したがって、求める余りは
$2 x - 1$

（確認： $x = 3$ のとき $2 \cdot 3 - 1 = 5$ 、 $x = - 2$ のとき $2 \cdot (- 2) - 1 = - 5$ となり、条件に合う。）

別解

$x^{2} - x - 6 = (x - 3) (x + 2)$ なので、 $P (x)$ を割った余りは 1 次以下の式 $a x + b$ とおける。商を $Q (x)$ とすると $P (x) = (x - 3) (x + 2) Q (x) + a x + b$ 。
剰余の定理より $P (3) = 5$ 、 $P (- 2) = - 5$ なので、
$3 a + b = 5$ 、 $- 2 a + b = - 5$ 。
辺々引くと $5 a = 10$ より $a = 2$ 。このとき $b = 5 - 6 = - 1$ 。
よって余りは $2 x - 1$ 。
検算： $x = 3$ のとき $2 \cdot 3 - 1 = 5$ 、 $x = - 2$ のとき $2 \cdot (- 2) - 1 = - 5$ で条件を満たす。

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