複素数と方程式の問題

割る式を因数分解する。$x=1$ を代入すると $1-2+2-1=0$ なので $x-1$ を因数にもち
$$x^3-2x^2+2x-1=(x-1)(x^2-x+1)$$
となる。

割る式は 3 次式なので、余りは 2 次以下である。商を $Q(x)$、余りを $R(x)$ とおくと
$$x^{2026}=(x-1)(x^2-x+1)Q(x)+R(x)(1)$$

$x^2-x+1$ で割った余りを調べる。
$x^3+1=(x+1)(x^2-x+1)$ であるから、$x^3+1$ は $x^2-x+1$ で割り切れる。また
$$x^6-1=(x^3+1)(x^3-1)$$
も $x^2-x+1$ で割り切れる。$2026=6\cdot 337+4$ であり、$y=x^6$ とおくと $y^{337}-1=(y-1)(y^{336}+y^{335}+\cdots +1)$ より $x^{2022}-1$ は $x^6-1$ で割り切れるから
$$x^{2026}-x^4=x^4\left(x^{2022}-1\right)$$
は $x^2-x+1$ で割り切れる。さらに
$$x^4+x=x(x^3+1)$$
も $x^2-x+1$ で割り切れるので、これらを合わせると $x^{2026}+x$ は $x^2-x+1$ で割り切れる。

一方、(1) より $x^{2026}-R(x)$ は $x^2-x+1$ で割り切れる。よって $R(x)+x=(x^{2026}+x)-(x^{2026}-R(x))$ も $x^2-x+1$ で割り切れる。$R(x)+x$ は 2 次以下の整式なので、定数 $k$ を用いて
$$R(x)+x=k(x^2-x+1),\text{すなわち}R(x)=k(x^2-x+1)-x$$
と表せる。

$x-1$ で割った余りの条件を使う。
(1) に $x=1$ を代入すると $1^{2026}=R(1)$、すなわち $R(1)=1$ である。
$$R(1)=k(1-1+1)-1=k-1=1$$
より $k=2$。

したがって
$$R(x)=2(x^2-x+1)-x=2x^2-3x+2$$

（確認）$R(1)=2-3+2=1=1^{2026}$ であり、$x^2=x-1$ を用いると $R(x)$ は $2(x-1)-3x+2=-x$ となり、$x^{2026}$ を $x^2-x+1$ で割った余り $-x$ と一致する。

よって求める余りは $2x^2-3x+2$ である。

$x^3-2x^2+2x-1=(x-1)(x^2-x+1)$。余りを $R(x)=a{x}^2+bx+c$ とおく。
$x^{2026}=(x^3-2x^2+2x-1)Q(x)+R(x)$。
$x=1$ を代入: $R(1)=1$、すなわち $a+b+c=1$。
$x^2-x+1=0$ の解 $\omega$ について、${\omega }^3=-1$（${\omega }^3+1=(\omega +1)({\omega }^2-\omega +1)=0$）より ${\omega }^6=1$。$2026=6\cdot 337+4$ なので ${\omega }^{2026}={\omega }^4=-\omega$。
よって $R(\omega )=-\omega$。${\omega }^2=\omega -1$ を用いて $R(\omega )=a(\omega -1)+b\omega +c=(a+b)\omega +(c-a)$。これが $-\omega$ に等しい（$\omega$ は虚数なので係数比較できる）ので $a+b=-1,c-a=0$。
$a+b+c=1$ に代入: $-1+c=1$ より $c=2$、$a=2$、$b=-3$。
余りは $2x^2-3x+2$。
検算: $R(1)=2-3+2=1$。$R(\omega )=2(\omega -1)-3\omega +2=-\omega$ で一致。